[논문 리뷰] On p-adic loop groups and Grassmannians

Martin Kreidl|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 SL_n의 p진 아핀 그라스만يان에 대한 기하적 프레임워크를 수립하며, 와이트 환 W(R) 위의 격자들을 통해 R-유일점으로 기술함으로써 이를 구축한다. 또한 다중등급 힐베르트 스킴의 프로젝티브 k-부분다양체를 구성하여 그라스만IAN에 G-equivariant하게 매핑함으로써 p진 설정에서 쇼버트 다양체를 실현한다. 감소한 k-대수 R에 대해, 힐베르트 스킴의 열린 궤도의 R-유일점과 그라스만IAN의 쇼버트 세포 사이에 전단사 대응을 유도한다.

ABSTRACT

It is well-known that the coset spaces G(k((z)))/G(k[[z]]), for a reductive group G over a field k, carry the geometric structure of an inductive limit of projective k-schemes. This k-ind-scheme is known as the affine Grassmannian for G. From the point of view of number theory it would be interesting to obtain an analogous geometric interpretation of quotients of the form G(W(k)[1/p])/G(W(k)), where p is a rational prime, W denotes the ring scheme of p-typical Witt vectors, k is a perfect field of characteristic p and G is a reductive group scheme over W(k). The present paper is an attempt to describe which constructions carry over from the function field case to the p-adic case, more precisely to the situation of the p-adic affine Grassmannian for the special linear group G=SL_n. We start with a description of the R-valued points of the p-adic affine Grassmannian for SL_n in terms of lattices over W(R), where R is a perfect k-algebra. In order to obtain a link with geometry we further construct projective k-subvarieties of the multigraded Hilbert scheme which map equivariantly to the p-adic affine Grassmannian. The images of these morphisms play the role of Schubert varieties in the p-adic setting. Further, for any reduced k-algebra R these morphisms induce bijective maps between the sets of R-valued points of the respective open orbits in the multigraded Hilbert scheme and the corresponding Schubert cells of the p-adic affine Grassmannian for SL_n.

연구 동기 및 목표

• 함수체에서 아핀 그라스만IAN의 기하 이론을 p진 설정, 특히 SL_n에 대해 확장하기 위해.
• 클래식한 함수체 설정과 유사하게 G(W(k)[1/p])/G(W(k))의 몫에 기하적 해석을 제공하기 위해.
• 다중등급 힐베르트 스킴의 프로젝티브 k-부분다양체를 구성하여 p진 그라스만IAN에서 쇼버트 다양체를 모델링하기 위해.
• 감소한 k-대수 R에 대해, 힐베르트 스킴의 궤도의 R-유일점과 p진 그라스만IAN의 쇼버트 세포 사이에 전단사 대응을 수립하기 위해.

제안 방법

• R가 완전한 k-대수일 때, SL_n에 대한 p진 아핀 그라스만IAN의 R-유일점들을 W(R) 위의 격자들로 기술한다.
• 다중등급 힐베르트 스킴의 프로젝티브 k-부분다양체를 구성하여 p진 그라스만IAN에 G-equivariant하게 매핑한다.
• 다중등급 힐베르트 스킴을 사용하여 기하적 통합을 통해 p진 설정에서 쇼버트 다양체를 실현한다.
• 이러한 부분다양체에서 p진 그라스만IAN으로의 G-equivariant 준동형을 수립하여 궤도 구조를 유지한다.
• 감소한 k-대수 R에 대해 유일점에 유도되는 사상들을 분석하여 열린 궤도에서 전단사성을 보인다.
• 와이트 환 W(R)의 이론을 적용하여 p진 구조를 다루고 SL_n 리드카티브 군 스킴과의 호환성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SL_n에 대한 p진 아핀 그라스만IAN은 함수체 설정과 유사하게 어떻게 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 다중등급 힐베르트 스킴의 부분다양체는 p진 설정에서 쇼버트 다양체를 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 감소한 k-대수 R에 대해, 힐베르트 스킴의 궤도의 R-유일점과 p진 그라스만IAN의 쇼버트 세포 사이에 전단사 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ4 함수체 설정에서의 구성들이 와이트 환 구성에 의해 p진 설정으로 얼마나 잘 일반화되는가?

주요 결과

• SL_n에 대한 p진 아핀 그라스만IAN의 R-유일점들은 W(R) 위의 격자들로 매개화되며, 이는 공간에 대한 구체적인 모델을 제공한다.
• 다중등급 힐베르트 스킴의 프로젝티브 k-부분다양체는 p진 그라스만IAN에 G-equivariant하게 매핑되며, p진 맥락에서 쇼버트 다양체를 실현한다.
• 이 사상의 상은 p진 그라스만IAN의 쇼버트 다양체에 해당하며, 고전 이론을 연장한다.
• 모든 감소한 k-대수 R에 대해, 이 사상들은 힐베르트 스킴의 열린 궤도의 R-유일점과 그라스만IAN의 해당 쇼버트 세포 사이에 전단사 사상을 유도한다.
• 구성은 G-equivariance를 유지하며, 힐베르트 스킴과 p진 그라스만IAN 사이의 기하적 다리를 제공한다.
• 이 프레임워크는 와이트 환과 다중등급 힐베르트 스킴을 사용하여 함수체 그라스만IAN의 핵심 특징들을 p진 설정으로 성공적으로 일반화한다.