[논문 리뷰] On Path diagrams and Stirling permutations

Markus Kuba, Anna Varvak|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 순열에서의 국소 유형(정점, 골짜기, 이중 상승, 이중 하강) 개념을 $k$-Stirling 순열로 확장하여, $(k+1)$-진 증가하는 트리의 노드 유형과의 전단사 관계를 수립한다. Ł우카시에비츠 경로에서 유도된 경로도를 사용하여 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대해 분기된 연속분수 표현을 도입하며, 플라주레의 순열에 대한 연속분수를 일반화하고, 생성함수에 대해 최소 세 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개를 제공한다.

ABSTRACT

A permutation can be locally classified according to the four local types: peaks, valleys, double rises and double falls. The corresponding classification of binary increasing trees uses four different types of nodes. Flajolet demonstrated the continued fraction representation of the generating function of local types, using a classical bijection between permutations, binary increasing trees, and suitably defined path diagrams induced by Motzkin paths. The aim of this article is to extend the notion of local types from permutations to $k$-Stirling permutations (also known as $k$-multipermutations). We establish a bijection of these local types to node types of $(k+1)$-ary increasing trees. We present a branched continued fraction representation of the generating function of these local types through a bijection with path diagrams induced by Łukasiewicz paths, generalizing the results from permutations to arbitrary $k$-Stirling permutations. We further show that the generating function of ordinary Stirling permutation has at least three branched continued fraction representations, using correspondences between non-standard increasing trees, $k$-Stirling permutations and path diagrams.

연구 동기 및 목표

• 일반 순열에서의 국소 유형(정점, 골짜기, 이중 상승, 이중 하강) 개념을 $k$-Stirling 순열로 일반화한다.
• $k$-Stirling 순열의 국소 유형과 $(k+1)$-진 증가하는 트리의 노드 유형 사이의 전단사 관계를 수립한다.
• Ł우카시에비츠 경로에서 유도된 경로도를 사용하여 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대한 분기된 연속분수 표현을 유도한다.
• 일반 Stirling 순열의 생성함수가 서로 다른 트리와 경로도 대응 관계에 기반하여 최소 세 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개를 갖는다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 다중집합 $\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$의 순열로 $k$-Stirling 순열을 정의하며, $i$의 두 등장 사이에 있는 원소들이 모두 $i$보다 큰 조건을 만족한다. 이는 일반 순열($k=1$)과 Stirling 순열($k=2$)을 일반화한다.
• 깊이 우선 탐색과 간선 레이블링을 통해 분리 벽과 노드 레이블을 이용하여, $k$-Stirling 순열과 $(k+1)$-진 증가하는 트리 사이의 전단사 관계를 수립한다.
• Ł우카시에비츠 경로를 기반으로 한 경로도를 도입하며, 스텝은 트리 구축 동작을 나타내며, 상승 스텝($a^\ell_j$)과 하강 스텝($b_j$)으로 구성된다. 가능도 함수를 통해 경로 선택에 조합적 가중치를 할당한다.
• 가능도 함수 $\operatorname{pos}(\cdot)$를 정의하여 루트 상승 스텝에 $\binom{\ell+k+2}{k+1}$, 내부 상승 스텝에 $\binom{\ell+k}{k-1} \cdot (j+1)$, 하강 스텝에 $j+1$를 할당함으로써 생성함수를 통한 수량 세기 가능성을 확보한다.
• 경로도 구축 과정을 재귀적 구조로 표현하고 가중 전이를 포함한 분기된 연속분수를 구성함으로써 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대한 분기된 연속분수를 유도한다.
• 다양한 트리 가족과의 연결을 통해 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대해 최소 세 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개를 도출한다: $(k+1)$-진 증가하는 트리, 비표준 증가하는 트리 $\mathcal{V}(k)$, 그리고 수열 기반 가족 $\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순열의 국소 유형 분류(정점, 골짜기, 이중 상승, 이중 하강)는 어떻게 $k$-Stirling 순열로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $k$-Stirling 순열의 국소 유형과 $(k+1)$-진 증가하는 트리의 노드 유형 사이의 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 Ł우카시에비츠 경로에서 유도된 경로도를 사용하여 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대한 분기된 연속분수 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대해 몇 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개가 존재하며, 그 기반에 있는 조합적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $k$-Stirling 순열과 $(k+1)$-진 증가하는 트리 사이의 전단사 관계를 수립하여, 전통적인 순열과 이진 증가 트리 사이의 대응을 일반화한다.
• $k$-Stirling 순열의 국소 유형은 $(k+1)$-진 증가하는 트리의 노드 유형과 전단사적으로 대응되며, 플라주레의 국소 유형 분류를 일반화한다.
• Ł우카시에비츠 경로에서 유도된 경로도와 정의된 가능도 함수를 사용하여 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대한 분기된 연속분수 표현을 도출한다.
• 일반 Stirling 순열($k=2$)의 생성함수는 서로 다른 트리와 경로도 가족에 기반하여 최소 세 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개를 갖는다.
• 비표준 증가 트리 가족 $\mathcal{V}(k)$는 비루트 노드에 대해 차수-가중 생성함수 $\varphi(t) = (1-t)^{-(k+2)}$와 루트에 대해 $\vartheta(t) = (1-t)^{-k}$를 가지며, $(k+1)$-Stirling 순열과 $(k+2)$-진 증가하는 트리와 전단사적 대응 관계에 있다.
• 보조정리 2는 $k$-Stirling 순열의 생성함수에 대해 최소 세 가지의 서로 다른 분기된 연속분수 전개가 존재함을 확인하며, 이는 세 가지의 서로 다른 조합적 가족: $(k+1)$-진 트리, 비표준 트리 $\mathcal{V}(k)$, 수열 기반 가족 $\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$에서 유래한다.