[论文解读] On penalisation results related with a remarkable class of submartingales

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文在一般技术条件下，为一类由扩散过程导出的次 martingale 建立了惩罚结果，表明时间改变的概率测度弱收敛于一个极限测度。关键贡献在于通过拉普拉斯变换的渐近分析和 Tauberian 定理，证明了存在一个关于与族 $ (\mathbb{Q}_t) $ 无关的 σ-有限测度 $\mathcal{Q}$ 绝对连续的极限概率测度 $\mathbb{Q}_{\infty}$。

ABSTRACT

Is this paper we study penalisations of diffusions satisfying some technical conditions, generalizing a result obtained by Najnudel, Roynette and Yor. If one of these diffusions has probability distribution $\mathbb{P}$, then our result can be described as follows: for a large class of families of probability measures $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, each of them being absolutely continuous with respect to $\mathbb{P}$, there exists a probability $\mathbb{Q}_{\infty}$ such that for all events $Λ$ depending only on the canonical trajectory up to a fixed time, $\mathbb{Q}_t (Λ)$ tends to $\mathbb{Q}_{\infty} (Λ)$ when $t$ goes to infinity. In the cases we study here, the limit measure $\mathbb{Q}_{\infty}$ is absolutely continous with respect to a sigma-finite measure $\mathcal{Q}$, which does not depend on the choice of the family of probabilities $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, but only on $\mathbb{P}$. The relation between $\mathbb{P}$ and $\mathcal{Q}$ is obtained in a very general framework by the authors of this paper.

研究动机与目标

• 将已知例子之外的满足技术条件的扩散过程的惩罚结果进行推广。
• 为相对于基测度 $\mathbb{P}$ 绝对连续的测度族 $\mathbb{Q}_t$ 建立弱极限 $\mathbb{Q}_{\infty}$ 的存在性。
• 证明极限测度 $\mathbb{Q}_{\infty}$ 关于仅依赖于 $\mathbb{P}$ 而不依赖于 $\mathbb{Q}_t$ 族选择的 σ-有限测度 $\mathcal{Q}$ 绝对连续。
• 通过渐近分析 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ 解决惩罚理论中的测度延拓问题，证明条件期望的收敛性。

提出的方法

• 使用形如 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$ 的拉普拉斯变换，分析 $\lambda \to 0^+$ 时的渐近行为。
• 应用 Tauberian 定理，从拉普拉斯变换的行为推导出 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ 的长时间渐近性质。
• 基于过程在水平 $a$ 以下的占用时间 $g_t^{[a]}$，对 $\Gamma_t$ 进行分解，将积分划分为 $g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ 和 $g_t^{[a]} > (1-\gamma)t$ 两个区域。
• 利用马氏性质和 $\rho(2\gamma)$ 的估计，控制尾部贡献 $J(\lambda,\gamma)$，确保当 $\gamma \to 0$ 时收敛。
• 依赖于 $\Gamma_t$ 的一致有界性常数 $M$ 及引理 3.4 的使用，以控制过程长时间停留在零附近这一罕见事件的概率。
• 利用 $\Gamma_t$ 关于 $t$ 递减且对所有 $t$ 有 $\mathbb{P}[\Gamma_t] > 0$ 的事实，确保 $\mathbb{Q}_t$ 的良好定义性，并避免与 $\mathcal{Q}[\Gamma_\infty] > 0$ 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相对于基测度 $\mathbb{P}$ 绝对连续的测度族 $\mathbb{Q}_t$ 弱收敛于极限测度 $\mathbb{Q}_\infty$？
• RQ2 极限测度 $\mathbb{Q}_\infty$ 是否可表示为关于与 $\mathbb{Q}_t$ 族选择无关的 σ-有限测度 $\mathcal{Q}$ 绝对连续？
• RQ3 当自然滤子未完成且 $\Gamma_t$ 仅几乎必然定义时，$\mathbb{Q}_\infty$ 的存在性如何确立？
• RQ4 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ 的渐近行为在证明 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s]$ 收敛性中起什么作用？
• RQ5 是否可利用 Tauberian 定理，从拉普拉斯变换的渐近性质推导出 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ 的长时间标度行为？

主要发现

• 在所述条件下，极限测度 $\mathbb{Q}_\infty$ 存在，且对所有 $s \geq 0$ 和 $\Lambda_s \in \mathcal{F}_s$，有 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$，当 $t \to \infty$ 时。
• 极限测度 $\mathbb{Q}_\infty$ 关于仅依赖于 $\mathbb{P}$ 而不依赖于族 $(\mathbb{Q}_t)$ 的 σ-有限测度 $\mathcal{Q}$ 绝对连续。
• 当 $t \to \infty$ 时，渐近行为 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \sim D t^{-\alpha} \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ 成立，其中 $D > 0$。
• 拉普拉斯变换 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$ 在 $\lambda \to 0^+$ 时收敛于 $K \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$，其中 $K > 0$。
• 当 $\gamma \to 0$ 时，尾部贡献 $J(\lambda,\gamma)$ 消失，确保积分的主要贡献来自 $g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ 区域，从而可应用 Tauberian 定理。
• 通过证明 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}] / \mathcal{Q}[\Gamma_\infty]$，$\mathbb{Q}_\infty$ 的存在性得以保证，该式定义了 $\mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$。