[논문 리뷰] On primes p for which d divides ord_p(g)

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|2004. 07. 24.

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한 줄 요약

이 논문은 고정된 정수 $ d $ 에 대해 $ g \mod p $ 의 곱셈적 순서 $ \text{ord}_p(g) $ 가 $ d $ 로 나누어지는 소수 $ p \leq x $ 의 개수에 대한 단순한 항등식을 수립한다. 이 항등식을 바탕으로, 체의 차수와 $ g $ 의 산술 불변량을 이용해 표현된 자연 밀도 $ \delta_g(d) $ 에 대한 새로운, 더 간결한 공식을 유도한다. 이는 이전의 표현보다 더 단순하고 계산에 더 효율적이다. 결과적으로 $ \delta_g(d) $ 는 양의 유리수임이 항상 보장되며, $ g $ 가 양수이든 음수이든 모두 포함하는 완전하고 명시적인 평가가 가능하다.

ABSTRACT

Let N_g(d) be the set of primes p such that the order of g modulo p is divisible by a prescribed integer d. Wiertelak showed that this set has a natural density and gave a rather involved explicit expression for it. Let N_g(d)(x) be the number of primes p<=x that are in N_g(d). A simple identity for N_g(d)(x) is established. It is used to derive a more compact expression for the natural density than known hitherto. A numerical demonstration, using a program of Y. Gallot, is presented.

연구 동기 및 목표

• 고정된 유리수 $ g \in \mathbb{Q} \setminus \{-1, 0, 1\} $ 에 대해, $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 를 만족하는 소수 $ p $ 의 자연 밀도 $ \delta_g(d) $ 에 대한 단순하고 명시적인 공식 유도.
• 체의 차수와 판별식을 바탕으로, 이전의 표현보다 더 간결하고 계산에 더 효율적인 $ \delta_g(d) $ 의 공식을 개선.
• 특히 $ g $ 가 제곱수가 아닐 경우, $ g > 0 $ 과 $ g < 0 $ 의 경우를 통합하고 단순화하기 위해 $ \delta_{-g}(d) $ 와 $ \delta_g(d) $ 사이의 변환 법칙을 이용.
• 표준 가설과 GRH 가정 하에서, 이러한 소수의 수를 세는 함수 $ N_g(d)(x) $ 에 대한 정확한 점근 공식 수립.
• 대규모 소수 집합에 대한 광범위한 계산을 통한 이론적 결과의 수치적 검증 제공.

제안 방법

• 핵심 항등식 도입: $ N_g(d)(x) = \sum_{v \mid d^\infty} \sum_{\alpha \mid d} \mu(\alpha) \pi_{K_{dv, \alpha v}}(x) $, 여기서 $ K_{s,r} = \mathbb{Q}(\zeta_s, g^{1/r}) $ 이고, $ \pi_L(x) $ 는 수체 $ L $ 에서 완전히 분해되는 비분기 소수의 수를 세는 함수이다.
• 체보타레프의 밀도 정리와 잔여 지수 $ r_p(g) $ 의 성질을 이용하여, $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 를 만족하는 소수의 수를 순환체와 루트 확장에서의 분해 행동과 연결.
• $ d^\infty $ 의 약수들에 대한 모비우스 역행렬을 적용하여, 원하는 밀도 조건을 분리.
• $ \delta_g(d) $ 를 체 확장의 차수 $ [K_{dv, \alpha v} : \mathbb{Q}] $ 의 합으로 유도하여, $ \epsilon_1 $, $ h $, $ d $, 그리고 판별식을 포함하는 유리수 표현으로 이끌어냄.
• $ d $ 가 짝수일 경우 특수한 경우를 다루기 위해, $ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ 의 2진 valuation 에 따라 달라지는 보정 항 $ \epsilon_g(d) $ 를 도입.
• 기존의 체보타레프 밀도 정리의 오차 한계를 활용하여 GRH 기반 오차 항을 수립하여, $ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $ 의 형태로 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p $ 에 대해 $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 를 만족하는 자연 밀도 $ \delta_g(d) $ 에 대한 가장 단순한 폐형 공식은 무엇인가?
• RQ2 특히 $ g $ 가 제곱수가 아닐 경우, $ g > 0 $ 과 $ g < 0 $ 의 경우를 통합하여 동일한 방식으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 위어텔라크와 파파라르디의 이전 결과보다 더 간결하고 계산에 더 효율적인 $ \delta_g(d) $ 의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서, 이러한 소수의 수를 세는 함수 $ N_g(d)(x) $ 의 정확한 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 $ g $ 와 $ -g $ 의 밀도 사이의 관계는 무엇이며, 이 관계를 공식의 경우 수를 줄이는 데 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 간결한 공식을 유도: $ \delta_g(d) = \frac{\epsilon_1}{d(h, d^\infty)} \prod_{p \mid d} \frac{p^2}{p^2 - 1} $, 여기서 $ \epsilon_1 $ 은 $ g $ 의 부호, $ h $ 의 2진 valuation, 그리고 $ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ 의 판별식에 따라 달라진다.
• $ g > 0 $ 이면, $ 2 \mid d $ 이고 $ D(g_0) \mid 4d $ 라면 $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g_0)/dh)\}}} $, 그 외의 경우 1.
• $ h $ 가 홀수이면, $ 2 \mid d $ 이고 $ D(g) \mid 4d $ 라면 $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g)/dh)\}}} $, 그 외의 경우 1.
• 공식은 $ \delta_g(d) \in \mathbb{Q}_{>0} $ 임을 확인하여, 밀도의 유리수성에 대한 오랜 동안의 질문을 해결.
• 수치 표는 이론적 값과 높은 정밀도로 일치함: 예를 들어 $ \delta_2(2) = 17/24 \approx 0.708333 $ 이며, $ x = 2.04 \times 10^9 $ 까지의 실험 데이터와 일치.
• GRH 하에서 $ N_g(d)(x) $ 의 오차 항은 $ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $ 로, 기존에 알려진 무조건적 상한보다 훨씬 우수함.