[논문 리뷰] On recursive properties of certain p-adic Whittaker functions

Fritz Hörmann|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 05.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 이차형식의 표현 밀도와 관련된 p진 월리커 함수의 재귀적 성질을 확립하며, 정수환의 분산 군의 작용에 의한 궤도 분해를 통해 이들이 $ p^{-s} $에 대한 다항식임을 보여준다. 핵심 기여는 표현 밀도와 안정자 체적 사이를 연결하는 일반화된 궤도 방정식으로, 이는 고차원의 정적군 군의 쇼미아 다양체에서 아이젠슈타인 급수의 특수 도함수에 대한 쿠드라의 추측을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We investigate recursive properties of certain p-adic Whittaker functions (of which representation densities of quadratic forms are special values). The proven relations can be used to compute them explicitly in arbitrary dimensions, provided that enough information about the orbits under the orthogonal group acting on the representations is available. These relations have implications for the first and second special derivatives of the Euler product over all p of these Whittaker functions. These Euler products appear as the main part of the Fourier coefficients of Eisenstein series associated with the Weil representation. In case of signature (m-2,2), we interpret these implications in terms of the theory of Borcherds' products on orthogonal Shimura varieties. This gives some evidence for Kudla's conjectures in higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 표현 밀도를 가진 $ \mathbb{Z}_p $ 위에서의 이차형식에 관련된 p진 월리커 함수의 재귀적 성질을 조사한다.
• 클래식한 재귀 공식(예: 기타오카의 공식)을 $ s $에 대한 보간된 월리커 함수로 일반화한다. 이를 위해 쌍곡 평면의 확장을 사용한다.
• 표현 밀도와 분산 군 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ 작용 하에서의 안정자 체적 사이의 구조적 궤도 방정식을 수립한다.
• 주어진 $ \mathrm{SO}' $-궤도에 대한 지식을 바탕으로 임의의 차원에서 이러한 함수를 명시적으로 계산할 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 기저가 $ (m-2,2) $인 정적군 군의 쇼미아 다양체에서 아이젠슈타인 급수의 특수 도함수에 대한 쿠드라의 추측을 뒷받침하는 증거를 제공한다.

제안 방법

• 표현 밀도 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $를 $ \mathbb{Q}_p $ 위의 등급 집합 $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ 의 체적으로 정의하며, 자연스러운 측도를 사용한다.
• 측도의 조합 호환성(정리 5.2)을 이용하여 $ \mu_p $ 및 보간된 분산 군 체적 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ 에 대한 재귀 항등식을 유도한다.
• 쌍곡 평면을 추가하여 분산 군 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ 의 체적을 $ p^{-s} $ 에 대한 다항식으로 보간함으로써 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ 를 얻는다.
• $ \mathrm{SO}' $-궤도가 쌍곡 평면 확장 하에서도 안정됨을 증명함으로써, 재귀 공식이 보간된 함수로까지 연장됨을 보장한다.
• 궤도 방정식 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{orbits}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $ 을 적용하여 $ \mu_p $ 를 재귀적으로 계산한다.
• $ \dim M = 1 $ 인 경우에 공식을 검증하며, 양의 명시적 공식(정리 7.2)을 특수한 경우로 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적군의 궤도에 의한 재귀적 분해 하에서 p진 월리커 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 표현 밀도 $ \mu_p $ 는 복소수 변수 $ s \in \mathbb{C} $ 에 대한 함수로 확장될 수 있으며, $ p^{-s} $ 에 대한 다항식인가?
• RQ3 분산 군 $ \mathrm{SO}' $ 는 등급의 궤도를 정리하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ \mu_p $ 와 $ \lambda_p $ 의 재귀 공식은 아이젠슈타인 급수의 푸리에 계수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 공식들은 고차원에서 아이젠슈타인 급수의 특수 도함수에 대한 쿠드라의 추측을 어느 정도 뒷받침하는가?

주요 결과

• 표현 밀도 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $ 는 $ M $ 의 차원에 의해 상한이 주어지는 $ p^{-s} $ 에 대한 다항식이다.
• 궤도 방정식이 성립한다: $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{orbits}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $, 여기서 합은 $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ 에서의 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $-궤도를 따른다.
• 보간된 체적 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ 은 $ p^{-s} $ 에 대한 다항식이며, 쌍곡 평면의 확장을 통해 명시적으로 계산된다.
• $ \dim M = 1 $ 인 경우, p진 월리커 함수는 $ I(M, L)(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}) $ 의 원소 수를 세는 방식으로 계산되며, 이는 래티스의 제타 함수와 연결된다(보조정리 7.3).
• 유도된 공식들은 $ \dim M = 1 $ 인 경우 양의 명시적 공식을 회복하여 이전 결과와의 일致성을 확인한다.
• $ s = 0 $ 에서 궤도 방정식의 구조는 정적군 쇼미아 다양체 위의 특수 사이클이 하위 쇼미아 다양체로 분해됨을 반영하며, 쿠드라의 추측을 뒷받침한다.