[논문 리뷰] On Reeb graphs induced from smooth functions on $3$-dimensional closed manifolds with finitely many singular values II

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 03.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 11인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 이전의 리브 그래프 연구를 확장하여, 이제는 비가역적인 3차원 닫힌 다양체를 포함한 매끄러운 함수를 구성함으로써, 주어진 유한 그래프와 특정한 전이형태를 갖는 그래프를 실현한다. 이 방법은 비가역적 환경으로까지 일반화된 모스-보트 기법을 사용하며, 어떤 유한 그래프라도 적절한 3차원 다양체 위에서 매끄러운 함수의 리브 그래프로 실현 가능하다는 것을 증명한다. 이는 다양체가 비가역적일 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatoric object and fundamental and important in understanding topological and geometric properties of the manifold of the domain. It is the graph and a topological space endowed with a natural topology. This is defined as the quotient space of the domain where the equivalence relation is as follows: two points in the domain is equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set or a preimage. In considerable cases they are graphs (Reeb graphs): if the function is a so-called Morse(-Bott) functions and so on, then this is the graph such that a point is a vertex if and only if the corresponding connected component of the level set contains some singular points. The author previously constructed smooth functions on suitable $3$-dimensional connected, closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are as prescribed types. This gives a new answer to so-called realization problems of graphs as Reeb graphs of smooth functions of suitable classes. The present paper concerns an extension in the case where the $3$-dimensional manifolds may not be non-orientable.

연구 동기 및 목표

• 유한 그래프를 3차원 닫힌 비가역 다양체 위에서 리브 그래프로 실현하는 것을 일반화한다.
• 비가역 3차원 다양체 위에서 주어진 유한 그래프와 일치하는 리브 그래프를 갖는 매끄러운 함수를 구성하는 데 도전한다.
• 이전의 가역 다양체에 대한 결과를 비가역 케이스로 확장하여 실현 문제의 범위를 넓힌다.
• 함수의 전이형태가 사전 지정된 위상형태를 갖도록 보장하여, 수준집합의 구조를 제어한다.

제안 방법

• 레벨 집합의 동일한 연결 성분에 속하는지에 대한 동치관계에 의한 도메인의 몫공간으로서 리브 공간을 구성한다.
• 3차원 다양체 위에서 유한한 수의 특이값을 갖는 함수를 다루기 위해 모스-보트 이론의 기법을 적용한다.
• 주어진 유한 그래프와 동형인 리브 그래프를 갖는 3차원 닫힌 다양체(비가역 포함) 위에 매끄러운 함수를 구성한다.
• 함수의 전이형태가 지정된 위상형태와 일치하도록 보장하여, 수준집합의 구조를 제어한다.
• 리브 공간이 특이점이 포함된 연결 성분에 대응하는 정점을 갖는 유한 그래프임을 확인하기 위해 위상적 및 조합론적 추론을 활용한다.
• 리브 공간의 자연스러운 몫위상에 의존하여 그래프 구조가 잘 정의되고 다양체의 위상과 호환됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한 그래프라도 3차원 닫힌 비가역 다양체 위에서 매끄러운 함수의 리브 그래프로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 함수의 전이형태는 어떻게 제어하여 사전 지정된 위상형태와 일치시킬 수 있는가?
• RQ3 가역에서 비가역 3차원 다양체로 리브 그래프 실현을 확장할 때 발생하는 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 비가역성의 존재가 리브 공간의 구조와 함수의 특이점에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모스-보트 유형 기법은 비가역 다양체로의 리브 그래프 실현을 위해 어느 정도 적응 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 주어진 유한 그래프와 동형인 리브 그래프를 갖는 3차원 닫힌 비가역 다양체 위에서 매끄러운 함수를 구성한다.
• 구성 과정에서 함수의 전이형태가 사전 지정된 위상형태를 갖도록 보장하여, 수준집합의 구조를 제어한다.
• 리브 공간이 특이점이 포함된 연결 성분에 대응하는 정점을 갖는 유한 그래프임을 입증한다.
• 기존의 가역 다양체에서의 결과를 비가역 다양체로 성공적으로 확장하여, 더 넓은 범주에서 실현 문제를 해결한다.
• 리브 공간에 대한 자연스러운 몫위상은 그래프 구조가 잘 정의되고 다양체의 위상과 호환됨을 보장한다.
• 결과적으로 다양체의 위상적 복잡성이 임의의 유한 그래프를 리브 그래프로 실현하는 것을 방해하지 않음을 보여준다.