[论文解读] On Reeb graphs induced from smooth functions on closed or open manifolds

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种构造性方法，可将任意给定的有限、无环、连通图实现为闭或开流形上光滑函数的Reeb图，且预像拓扑和轻微奇点均被指定。通过将局部Morse函数与Morse-Bott函数构造相结合，并控制柄的附加，作者证明了此类函数存在于(n+1)维流形上，其中边上的预像微分同胚于去掉q个不相交圆盘的n维球面，该q值由分配给边的非负整数函数l决定。

ABSTRACT

For a smooth function on a smooth manifold of a suitable class, the space of all connected components of preimages is the graph and called the {\it Reeb graph}. Reeb graphs are fundamental tools in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and more general functions which are not so wild. In this paper, we study whether we can construct a smooth function with good geometric properties inducing a given graph as the Reeb graph. This problem has been essentially launched by Sharko in 2000s and various answers have been given by Masumoto, Michalak, Saeki, and so on. Recently the author set a new explicit problem and gave an answer. In the studies before the result of the author, considered functions are smooth functions on closed surfaces or Morse functions such that preimages of regular values are disjoint unions of standard spheres. On the other hand, the author constructed a smooth function on a suitable $3$-dimensional closed, connected and orientable manifold inducing the Reeb graph isomorphic to the given graph such that preimages of regular values are arbitrary closed surfaces. Based on this result and method of the author, with several new ideas, we will consider smooth functions on surfaces and manifolds which may be non-closed and give answers to the problem.

研究动机与目标

• 确定任意给定的有限、连通、无环图是否可作为闭或开流形上光滑函数的Reeb图实现，且预像拓扑被指定。
• 将先前关于闭流形的结果扩展至包含开流形或非闭流形，特别是允许预像比不相交球面的并更一般化。
• 构造一个光滑函数，使得每个正则值的预像微分同胚于去掉q个不相交标准圆盘的n维球面，其中q通过边上的函数l分配。
• 确保函数仅在有限多个点外具有轻微奇点——具体而言，奇点类型仅为Morse或Morse-Bott型。
• 提供一种显式、几何的构造方法，对水平集的拓扑结构和奇点性质实现明确控制。

提出的方法

• 构造通过局部拼接进行：对图中的每个顶点，使用(n+1)维流形上的Morse或Morse-Bott函数构建局部模型，确保局部Reeb空间与图一致。
• 对于无局部极值的顶点，使用区间上的平凡光滑纤维丛，替换为经过仔细选择的局部函数，通过从n维球面中去掉q个圆盘来修改预像拓扑。
• 对于具有局部极值的顶点，特别是满足l(e)=2的度数为1的顶点，采用涉及圆盘上的高度函数与直线的乘积构造，以模拟局部行为。
• 函数l为每条边分配一个非负整数，决定从标准n维球面中去掉的圆盘数量，从而确定正则值的预像拓扑。
• 通过沿图的结构拼接这些局部模型，构建全局函数，确保所得函数光滑且诱导出所需的Reeb图。
• 该构造确保在除有限多个奇点外的所有点上，局部函数为Morse或Morse-Bott型，且在极值点处为这类函数的复合，从而保持对奇点类型的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意有限、连通、无环图是否可作为闭或开流形上光滑函数的Reeb图实现，且预像拓扑被指定？
• RQ2 此类函数是否可构造于开流形或非闭流形上，从而将先前仅限于闭流形的结果加以扩展？
• RQ3 是否可通过为每条边分配一个非负整数q，来控制正则值预像的拓扑结构，其中q对应于从n维球面中去掉的圆盘数量？
• RQ4 是否可将函数的奇点限制为仅Morse或Morse-Bott类型，除有限多个点外？
• RQ5 该构造是否可实现为显式且几何化的方法，利用局部模型与拼接技术？

主要发现

• 对于任意有限、连通、无环图G以及任意分配非负整数到边的函数l，存在一个(n+1)维连通、可定向流形M和一个光滑函数f:M→ℝ，其Reeb图与G同构。
• 对于满足l(e)=q的边e，其正则值的预像微分同胚于去掉q个不相交标准n维圆盘的n维球面，其中q=0对应标准n维球面，q=1对应ℝ。
• 通过同构φ:W_f→G保持Reeb图结构，且对每个映射到顶点v的奇点p，有f(p)=h(φ(v))。
• 在除有限多个奇点外的所有点上，局部函数为Morse或Morse-Bott型，确保奇点类型为轻微型。
• 在局部极值点处，局部函数为Morse型、Morse-Bott型或与Morse函数的复合，从而保持对奇点类型的控制。
• 该构造是显式且几何化的，基于标准纤维丛和高度函数的局部模型，并通过拼接技术实现，扩展了先前工作至开流形和非闭流形。