[논문 리뷰] On representing and hedging claims for coherent risk measures

Saul Jacka, Seb Armstrong외 1명|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|2017. 03. 10.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 시간 필터레이션에 적합한 $L^{∞}$ 내 유한 합의 볼록 콘의 약한∗-닫힘의 이중 성질을 수립하고, 일관된 위험 측정에서의 $\mathbf{V}$-m-안정성 개념을 도입한다. 이는 동적 위험 관리에서 $\mathbf{V}$-m-안정성이 시간에 따라 일관된 것과 동치임을 증명하며, 다중 자산 포트폴리오에서 최적의 준비금 및 헤지 전략에 대한 이론적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

We provide a dual characterisation of the weak$^*$-closure of a finite sum of cones in $L^\infty$ adapted to a discrete time filtration $\mathcal{F}_t$: the $t^{th}$ cone in the sum contains bounded random variables that are $\mathcal{F}_t$-measurable. Hence we obtain a generalisation of Delbaen's m-stability condition for the problem of reserving in a collection of numéraires $\mathbf{V}$, called $\mathbf{V}$-m-stability, provided these cones arise from acceptance sets of a dynamic coherent measure of risk. We also prove that $\mathbf{V}$-m-stability is equivalent to time-consistency when reserving in portfolios of $\mathbf{V}$, which is of particular interest to insurers.

연구 동기 및 목표

• 각 콘은 $\mathcal{F}_t$-가측 유한 랜덤 변수로 구성된 $L^{∞}$ 내 유한 합의 콘의 약한∗-닫힘을 특성화하기 위해.
• 다중 단위자산 $\mathbf{V}$의 맥락에서 Delbaen의 m-안정성 조건을 일반화하여 동적 일관된 위험 측정에 대한 $\mathbf{V}$-m-안정성을 도입하기 위해.
• 동적 위험 측정 및 헤지 맥락에서 $\mathbf{V}$-m-안정성과 시간에 따라 일관된 것의 동치성을 확립하기 위해.
• 이중 정리와 $L^{∞}$의 약한∗ 위상에 기반한 이중 프레임워크를 통해 예측 가능하게 표현 가능한 청구서를 제공하기 위해.
• 자기자금 전략을 통해 $\mathbf{V}$ 자산 포트폴리오에서 각 시점에서 위험 수용 가능성을 보장하는 조건을 체계화하기 위해.

제안 방법

• 모든 $L^{∞}$에서 약한∗ 위상 $\sigma(L^{∞}, L^1)$을 사용하여 쌍대 공간을 $L^1$로 식별하고, $\mathbb{Q}$-절대 연속 확률 측도 위에서 본질적 최대값을 통한 일관된 위험 측정의 표현을 가능하게 한다.
• Fatou 성질을 적용하여 쌍대 최적화자들을 $L^1$-적분 가능 밀도로 제한하고, 조건부 위험 측정을 $\rho_t(X) = \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}_t} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{F}_t]$로 표현한다.
• 자기자금 전략을 통한 예측 가능하게 표현 가능한 청구서의 개념을 도입하며, 각 시점 $t$에서 $\rho_t((Y_{t+1} - Y_t) \cdot \mathbf{V}) \leq 0$ 를 요구한다.
• $\mathcal{A}_t(\mathbf{V})$를 시점 $t$에서 $\mathbf{V}$-포트폴리오의 수용 가능 집합으로 정의하고, $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$와 그 폴라 콘 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 사이의 이중성을 수립한다.
• Fenchel-Moreau 이중성 정리와 이중 정리 이론을 활용하여 등가성 $\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$ 를 유도하며, 예측 가능성과 안정성 간의 연결 고리를 제공한다.
• 쌍대 콘 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$가 예측 가능하게 안정적일 때에만 $\mathbf{V}$-m-안정성이 성립하며, 관계 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) = \cap_{s=t}^{T-1} \mathcal{M}_s(\mathcal{B}^*)$ 를 사용하여 이를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 동적이고 시간에 따라 일관된 방식으로 $\mathbf{V}$ 자산 포트폴리오를 사용하여 청구서를 예측 가능하게 표현할 수 있는가?
• RQ2 콘 합의 약한∗-닫힘의 이중 특성은 일관된 위험 측정에서의 m-안정성 조건과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 동적 위험 관리 맥락에서 $\mathbf{V}$-m-안정성과 시간에 따라 일관된 것 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 수용 집합 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$는 어떤 조건에서 자기자금 전략을 통해 $\mathbf{V}$-단위 자산에서 예측 가능하게 표현 가능한가?
• RQ5 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$와 그 폴라 콘 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ 사이의 이중성은 안정적이고 표현 가능한 위험 포지션을 어떻게 특성화하는가?

주요 결과

• 각 콘은 $\mathcal{F}_t$-가측 랜덤 변수로 구성된 $L^{∞}$ 내 유한 합의 콘의 약한∗-닫힘은 이중성과 이중 정리에 의해 특성화된다.
• 자산 포트폴리오에서 $\mathbf{V}$ 자산을 사용할 때, 동적 일관된 위험 측정에서 $\mathbf{V}$-m-안정성은 시간에 따라 일관된 것과 동치이다.
• 청구서 $X$가 $\mathbf{V}$에 의해 예측 가능하게 표현 가능할 조건은 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V}) = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{A}_0, \mathbf{V})}^{w^*}$ 이며, 이는 수용 가능한 거래를 통한 동적 헤지 보장을 한다.
• 쌍대 콘 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$가 예측 가능하게 안정적일 때에만 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$가 예측 가능하게 표현 가능하며, 이는 표현 가능성과 안정성 간의 이중성을 수립한다.
• 정리 2.24의 증명은 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) \subset K_t(\mathcal{B})^*$ 와 $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*)^* \subset K_t(\mathcal{B})$ 를 확인하며, 수용 가능한 거래 집합과 쌍대 측도 집합 간의 이중성을 확인한다.
• 만일 $\mathcal{B}$가 약한∗-닫힘 볼록 콘이고 $\mathcal{B}^*$가 예측 가능하게 안정적이라면, 등식 $\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$ 가 성립하며, 이는 동적 위험 관리에 대한 완전한 이중 프레임워크를 제공한다.