[논문 리뷰] On SDEs driven by fractional Brownian motions with irregular drifts

Xiliang Fan, Shao‐Qin Zhang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 03.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가측성 있고 선형 성장 조건을 만족하는 계수를 가진 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDE)의 해에 대해 고차수 및 지수적 모멘트 추정을 수립한다. 구간 Girsanov 변환, Clark-Ocone 공분산 표현 및 푸리에 분석을 조합하여, 1차원에서의 가역적 기능에 대해 약한 유일성, 밀도 존재성 및 가우시안 꼬리 추정을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, high-order moments, even exponential moments, estimates are established for solutions to stochastic differential equations (SDEs) driven by fractional Brownian motions whose drift is measurable and has linear growth. As applications, we study the weak uniqueness of solutions to fractional SDEs. Moreover, in dimension one, combining our estimates and the Fourier transform, we establish the existence of density of solutions to equations with irregular drifts. We further obtain Gaussian estimates for the tails of additive functional of such equation with bounded and measurable drift. It is relied on a mix of the Girsanov transform and the Clark-Ocone type covariance representation.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동에 의해 구동되고 비정규 계수를 가진 SDE의 해에 대해 고차수 및 지수적 모멘트 추정을 도출하는 것.
• 계수가 가측적이며 선형 성장 조건을 만족할 때, 이러한 SDE의 해에 대해 약한 유일성을 확립하는 것.
• 1차원 SDE의 해에 대해 푸리에 변환 기법을 사용하여 확률밀도 존재성을 증명하는 것.
• 유계이고 가측적인 계수를 가진 이러한 SDE의 가역적 기능에 대해 가우시안 유형의 꼬리 추정을 얻는 것.
• 경로에 대한 정규성과 모멘트 구조를 분석하기 위해 Girsanov 변환과 Clark-Ocone 표현을 조합하는 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 헤르스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)를 가진 분수 브라운 운동에 대해 경로 기반 분석 및 확률 미적분을 사용하여 모멘트 추정을 유도한다.
• 측도를 변화시켜 해의 법칙이 다양한 확률 측도 하에서 분석되도록 Girsanov 변환을 적용한다.
• 함수기능의 공분산을 표현하기 위해 Clark-Ocone 공식을 활용하여 분산 및 꼬리 추정을 가능하게 한다.
• 1차원에서 해의 밀도 존재성을 입증하기 위해 푸리에 변환 기법을 사용한다.
• 모멘트 추정과 공분산 표현을 조합하여 가역적 기능의 날카로운 꼬리 경계를 도출한다.
• 분석의 적분 가능성과 안정성을 보장하기 위해 계수의 선형 성장성과 가측성을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가측성 계수를 가진 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에 대해 고차수 및 지수적 모멘트를 추정할 수 있는가?
• RQ2 비정규 계수를 가진 이러한 SDE에 대해 약한 유일성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 가측 계수를 가진 1차원 SDE의 해가 확률밀도를 갖는가?
• RQ4 이러한 SDE의 가역적 기능의 꼬리 행동 특성은 무엇인가?
• RQ5 Girsanov 변환과 Clark-Ocone 표현을 어떻게 조합하여 경로의 정규성과 모멘트 구조를 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 계수의 선형 성장성과 가측성 조건 하에서 해의 고차수 및 지수적 모멘트가 추정된다.
• 가측 계수를 가진 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에 대해 해의 약한 유일성이 확립된다.
• 1차원에서 해는 확률밀도를 갖는다. 이는 푸리에 변환과 모멘트 추정을 통해 증명된다.
• 유계이고 가측적인 계수를 가진 SDE의 가역적 기능에 대해 가우시안 유형의 상한 추정이 도출된다.
• Girsanov 변환과 Clark-Ocone 표현의 조합은 공분산 구조와 꼬리 행동에 대한 정밀한 제어를 가능하게 한다.
• 결과는 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)를 가진 분수 브라운 운동에 대해 성립하며, 이는 장기적 상관관계와 자기유사성을 보장한다.