[논문 리뷰] On Search Complexity of Discrete Logarithm

Pavel Hubáček, Jan Václavek|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 06.

Cryptographic Implementations and Security인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 TFNP 내부에서 복소대수의 변형 문제들이 PPP 및 PWPP 복잡도 클래스에 대해 완전함을 입증하며, Sotiraki 등 (FOCS'18)의 미해결 문제를 해결한다. 저자들은 DLog이 PPP-완전임을 보여주는 새로운 감소법을 제안하고, DLog이 PPP-완전임을 증명하며, DLog이 PPP-완전임을 입증한다. 또한 Dove와 Claw이라는 두 가지 새로운 PWPP-완전 문제를 규명하여 PWPP의 구조적 성질을 밝히고, PWPP 및 PPP를 초월한 하한을 확보하기 위해 이산 로그의 난이도에 의존할 수 있는 한계를 명확히 한다.

ABSTRACT

In this work, we study the discrete logarithm problem in the context of TFNP - the complexity class of search problems with a syntactically guaranteed existence of a solution for all instances. Our main results establish that suitable variants of the discrete logarithm problem are complete for the complexity class PPP, respectively PWPP, i.e., the subclasses of TFNP capturing total search problems with a solution guaranteed by the pigeonhole principle, respectively the weak pigeonhole principle. Besides answering an open problem from the recent work of Sotiraki, Zampetakis, and Zirdelis (FOCS'18), our completeness results for PPP and PWPP have implications for the recent line of work proving conditional lower bounds for problems in TFNP under cryptographic assumptions. In particular, they highlight that any attempt at basing average-case hardness in subclasses of TFNP (other than PWPP and PPP) on the average-case hardness of the discrete logarithm problem must exploit its structural properties beyond what is necessary for constructions of collision-resistant hash functions. Additionally, our reductions provide new structural insights into the class PWPP by establishing two new PWPP-complete problems. First, the problem DOVE, a relaxation of the PPP-complete problem PIGEON. DOVE is the first PWPP-complete problem not defined in terms of an explicitly shrinking function. Second, the problem CLAW, a total search problem capturing the computational complexity of breaking claw-free permutations. In the context of TFNP, the PWPP-completeness of CLAW matches the known intrinsic relationship between collision-resistant hash functions and claw-free permutations established in the cryptographic literature.

연구 동기 및 목표

• TFNP 내부에서 이산 로그의 변형 문제들이 PPP 및 PWPP 복잡도 클래스에 대해 완전한지 여부를 해결하기 위해.
• TFNP 하위클래스의 평균적 난이도를 증명하는 데 있어 이산 로그의 구조적 성질이 차지하는 역할을 명확히 하기 위해.
• Dove와 같은 새로운 완전 문제들을 규명함으로써 PWPP 복잡도 클래스에 대한 새로운 구조적 통찰을 제공하기 위해.
• TFNP 하위클래스에서 PWPP 및 PPP를 초월한 암호학적 난이도 결과가 이산 로그의 평균적 난이도에만 의존할 수 없으며, 더 깊은 구조적 특성을 활용해야 한다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 불리안 회로에 의해 유도된 군oids를 사용하여 일반 군에서 이산 로그 문제를 형식화한다.
• Pigeon 문제(PPP-완전)에서 DLog로의 감소를 구성함으로써 DLog이 PPP-난이도이자 총합임을 증명하고, 따라서 PPP-완전임을 입증한다.
• 직접적인 회로 기반 구성법을 사용하여 축소 함수를 통해 정의되지 않은 PWPP-완전 문제인 Dove 문제를 도입한다.
• Claw 문제를 클라우드-프리 순열을 파괴하는 데 필요한 계산 복잡도를 포괄하는 총합 검색 문제로 정의하고, 이 문제가 PWPP-완전임을 증명한다.
• 격자 이론적 성질(예: q-정수 격자)이 필요 없이, 단지 회로 표현에 의존하는 새로운 감소법을 사용하여 Pigeon에서 Blichfeldt로의 감소를 수행한다.
• 감소 과정을 통해 생성된 Blichfeldt의 인스턴스는 유형 2 또는 유형 3의 해를 유도하지 않으며, 이는 해가 반드시 유형 1(회로 V 내의 충돌)이 되도록 강제함으로써 Pigeon 문제와 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 TFNP 내부에서 이산 로그의 변형 문제들이 PPP 및 PWPP 복잡도 클래스에 대해 완전한가?
• RQ2 이산 로그 문제는 PWPP 및 PPP를 초월한 TFNP 하위클래스의 평균적 난이도를 입증하는 데 기초로 사용될 수 있는가?
• RQ3 Dove와 Claw과 같은 새로운 완전 문제들을 가능하게 하는 PWPP의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 Blichfeldt의 PPP-난이도는 깊은 수론적 성질에 의존하는가, 아니면 직접적인 회로 기반 감소법으로 증명될 수 있는가?
• RQ5 Blichfeldt로의 감소가 Blichfeldt 정리에 의해 보장되는 해에 의존하지 않도록 할 수 있는가, 이는 계산의 핵심을 분리하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 일반 군 내 이산 로그 문제는 복잡도 클래스 PPP에 대해 완전하다.
• Pigeon의 완화된 형태인 문제 Dove는 축소 함수를 명시적으로 사용하지 않은 첫 번째 PWPP-완전 문제이다.
• 클라우드-프리 순열을 파괴하는 데 필요한 계산 복잡도를 포괄하는 문제 Claw은 PWPP-완전하다.
• Blichfeldt의 PPP-난이도는 q-정수 격자와 같은 격자 이론적 성질을 사용하지 않고도 직접 Pigeon에서의 감소를 통해 입증될 수 있다.
• Pigeon에서 Blichfeldt로의 감소 과정은 유형 2 및 유형 3 해가 불가능한 인스턴스를 생성하며, 이는 오라클이 반드시 회로 V 내의 충돌(유형 1 해)을 반환하도록 강제함으로써 Pigeon의 해를 유지한다.
• 저자들은 DLogp 문제(유일한 해를 갖는 변형)는 PWPP-완전이 아니라고 추측하며, 이는 PWPP 맥락에서 유일한 해를 갖는 변형과 유일한 해를 갖지 않는 변형 간의 근본적인 차이를 시사한다.