[논문 리뷰] On simultaneous rational approximation to a real number and its integral powers, II

Dzmitry Badziahin, Yann Bugeaud|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주어진 λ > 1에 대해 동시 유리근사 지수 λₙ(ξ)가 λ 이상이거나 정확히 λ인 실수 ξ의 집합의 하우스도르프 차원을 규명하며, 그 값이 2/(n(1+λ))임을 증명한다. 저자들은 (ξ, ξ², ..., ξⁿ)에 대한 모든 최적의 동시 근사가 버로네제 곡선 위에 놓여 있음을 보여주는 새로운 간결한 증명을 제시한다. 이는 양호한 근사가 ξ 자체의 유리근사에서 유래함을 시사하며, λₙ(ξ)의 수준집합에 대해 날카운 차원 경계를 이끌어낸다.

ABSTRACT

For a positive integer $n$ and a real number $ξ$, let $λ_n (ξ)$ denote the supremum of the real numbers $λ$ for which there are arbitrarily large positive integers $q$ such that $|| q ξ||, || q ξ^2 ||, \ldots , ||q ξ^n||$ are all less than $q^{-λ}$. Here, $|| \cdot ||$ denotes the distance to the nearest integer. We establish new results on the Hausdorff dimension of the set of real numbers $ξ$ such that $λ_n (ξ)$ is equal (or greater than or equal) to a given value.

연구 동기 및 목표

• λ > 1인 경우 실수 ξ의 집합 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ 또는 λₙ(ξ) = λ}의 하우스도르프 차원을 결정하는 것.
• λₙ(ξ)의 스펙트럼에 대한 열린 문제를 해결하여, [1/n, ∞]를 포함함을 확인하고, 수준집합의 정확한 차원을 계산하는 것.
• 모든 (ξ, ξ², ..., ξⁿ)에 대한 최적의 동시 근사가 버로네제 곡선 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 위에 놓여 있음을 보여주는 새로운 간결한 증명을 제공하는 것.
• 다항곡선 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})에 대해 이 방법을 일반화하고, 이러한 근사집합에 대한 차원 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 버로네제 매핑을 사용하여 (ξ, ξ², ..., ξⁿ)에 대한 모든 최적의 동시 근사를 유리점 (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ로 특성화하는 것.
• 다중 근사가 가까이 있을 경우 분모의 비율이 대수적 항등식을 만족함을 보여주는 행렬식 기반의 추론을 적용하여, 이들이 공통의 기초 유리수에서 유래됨을 시사하는 것.
• λₙ(ξ)와 wₙ(ξ) 사이의 전환 부등식을 유도하고, wₙ(ξ) ≥ w 집합의 차원에 대한 기존 결과를 활용하는 것.
• Jarník–Besicovich 정리와 그 고차원 n에 대한 일반화를 사용하여 차원 경계를 유도하며, λₙ(ξ) ≥ (λ₁(ξ) - n + 1)/n의 관계를 활용하는 것.
• 연분수 이론과 디오판틴 대수근사 이론을 활용하여 구체적인 예시를 구성하고, 양호한 근사의 구조를 분석하는 것.
• d₁ = 1이고 j = 1, ..., ℓ - 1에 대해 d_{j+1} - d_j > λ인 임의의 다항곡선 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})에 대해 이 방법을 확장하여, max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ}이 무한히 많이 성립하는 ξ의 집합에 대해 차원 2/(d_ℓ(λ + 1))을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 λ > 1 및 n ≥ 2일 때, {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ}의 하우스도르프 차원은 무엇인가요?
• RQ2 λ > 1 및 n ≥ 2일 때, 수준집합 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ}의 하우스도르프 차원은 무엇인가요?
• RQ3 (ξ, ξ², ..., ξⁿ)에 대한 모든 최적의 동시 근사가 (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ 형태, 즉 버로네제 곡선 위에 놓여 있는가요?
• RQ4 버로네제 곡선에 사용된 방법을 다른 다항곡선으로 일반화하여 근사집합의 차원을 계산할 수 있는가요?
• RQ5 부등식 λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)}는 성립하는가? 그리고 동일한 프레임워크를 통해 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정수 n ≥ 2와 실수 λ > 1에 대해, {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ}의 하우스도르프 차원은 정확히 2/(n(1 + λ))이다.
• λ > 1 및 n ≥ 2일 때, 수준집합 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ}의 차원 역시 2/(n(1 + λ))이다.
• 모든 (ξ, ξ², ..., ξⁿ)에 대한 최적의 동시 근사는 버로네제 곡선 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 위에 놓여 있으며, 이는 행렬식 항등식과 약수성 조건을 통해 증명된다.
• 이 방법은 d₁ = 1이고 모든 j에 대해 d_{j+1} - d_j > λ인 임의의 다항곡선 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ})로 일반화되며, max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ}이 무한히 많이 성립하는 ξ의 집합에 대해 차원 2/(d_ℓ(λ + 1))을 도출한다.
• λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)}에 대한 다른 증명이 제시되며, 부등식이 성립하지 않을 경우 약수성과 행렬식 경계를 통해 모순을 이끌어내는 방식이다.
• 결과적으로 λₙ(ξ)의 스펙트럼이 [1/n, ∞]를 포함하며, λ > 1일 때 수준집합의 차원이 완전히 규명됨을 확인한다.