[논문 리뷰] On Solvable Lattice Models and Knot Invariants

Doron Gepner|ArXiv.org|1993. 05. 31.

Random Matrices and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유리형 초월장 이론(RCFT)에서 유도된 가역적 상호작용-면 주위(IRF) 격자 모형을 이용해 링크 불변량의 통합 프레임워크를 구축한다. 초과황금 근처 근처 극한에서 보른-웨이트를 RCFT 뱀드링 행렬과 연결함으로써, 저자들은 결과로 얻어진 불변량이 마르코프 성질을 만족함을 증명하며, 이는 유효한 링크 불변량을 형성함을 보여준다; 이 구성은 존슨, 허플리, 캐플러 불변량과 같은 기존 다항식을 복원하고 새로운 다항식을 생성하며, 모든 링크 불변량이 RCFT에서 유래할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Recently, a class of solvable interaction round the face lattice models (IRF) were constructed for an arbitrary rational conformal field theory (RCFT) and an arbitrary field in it. The Boltzmann weights of the lattice models are related in the extreme ultra violet limit to the braiding matrices of the rational conformal field theory. In this note we use these new lattice models to construct a link invariant for any such pair of an RCFT and a field in it. Using the properties of RCFT and the IRF lattice models, we prove that the invariants so constructed always obey the Markov properties, and thus are true link invariants. Further, all the known link invariants, such as the Jones, HOMFLY and Kauffman polynomials arise in this way, along with giving a host of new invariants, and thus also a unified approach to link polynomials. It is speculated that all link invariants arise from some RCFT, and thus the problem of classifying link and knot invariants is equivalent to that of classifying two dimensional conformal field theory.

연구 동기 및 목표

• 유리형 초월장 이론(RCFT)에 기반한 가역적 격자 모형에서 링크 불변량을 체계적으로 구성하는 것.
• IRF 모형에서 유도된 불변량이 마르코프 성질을 만족함을 보여, 유효한 링크 불변량임을 확보하는 것.
• 존슨, 허플리, 캐플러 다항식 등 기존 링크 다항식들을 RCFT 데이터를 기반으로 하는 단일 프레임워크 안에서 통합하는 것.
• 모든 링크 불변량이 어떤 RCFT에서 유래한다는 추측을 탐색함으로써, knot 불변량의 분류와 2차원 초월장 이론의 분류를 연결하는 것.

제안 방법

• 유리형 초월장 이론(RCFT)과 그 내부의 필드에 대해, 유리형 초월장 이론 이론을 이용해 가역적 IRF 격자 모형을 구성한다.
• 격자 모형의 보른-웨이트를 RCFT의 뱀드링 행렬, 특히 초과황금 근처 근처 극한에서 정의한다.
• RCFT의 모듈러 불변성과 융합 규칙을 이용해 격자 모형의 일관성과 적분 가능성을 확보한다.
• 링크가 임bed된 토러스 위의 분할 함수를 정의하며, 보른-웨이트를 구성에 통계적 가중치로 할당한다.
• 결과로 얻어진 분할 함수가 Reidemeister 이동에 대해 불변임을 증명함으로써, 링크 불변량이 요구하는 마르코프 성질을 만족함을 보인다.
• 분할 함수가 존슨 및 허플리 다항식과 같은 기존 다항식을 일반화하는 잘 정의된 링크 불변량을 생성함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RCFT에서 유도된 가역적 격자 모형이 마르코프 성질을 만족하는 유효한 링크 불변량을 생성할 수 있는가?
• RQ2 IRF 모형의 보른-웨이트는 초과황금 근처 근처 극한에서 RCFT의 뱀드링 행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 구성된 불변량은 존슨, 허플리, 캐플러 다항식과 같은 모든 기존 링크 다항식을 포함하는가?
• RQ4 모든 기존 링크 불변량을 RCFT 데이터를 통해 통합하는 보편적 프레임워크가 존재하는가?
• RQ5 모든 링크 불변량이 어떤 RCFT에 기반한 IRF 모형의 분할 함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• RCFT 기반의 IRF 격자 모형에서 유도된 분할 함수는 마르코프 성질을 만족함을 확인하여 유효한 링크 불변량임을 증명한다.
• RCFT가 중심 임피던스 c=2/3인 최소 모형일 경우, 이 구성은 존슨 다항식을 특수한 경우로 재현한다.
• 허플리 다항식과 캐플러 다항식도 이 프레임워크 내에서 특정 RCFT와 필드 데이터를 선택함으로써 자연스럽게 유도된다.
• 이 방법은 RCFT와 필드의 선택에 따라 기존 다항식을 초월하는 많은 새로운 링크 불변량을 생성한다.
• 결과는 모든 링크 불변량이 어떤 RCFT에서 유래한다는 추측을 지지하며, knot 이론과 2차원 초월장 이론 사이에 깊은 연결 고리가 있음을 시사한다.