[논문 리뷰] On Some Classes of Open Two-Species Exclusion Processes

Arvind Ayyer, Joel L. Lebowitz외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 입자 진입/탈출 및 부스터 전이 비율을 가진 개방형 1차원 이종 입자 전적으로 비대칭 간섭 과정(2-TASEP)의 평형이 아닌 정상 상태(NESS)를 조사한다. 매트릭스 앙사즈와 커플링 기법을 사용하여 특정 비율 조건 하에서 입자 전류와 단계도를 명시적으로 유도하고, 모든 세 종류의 입자 밀도 프로파일이 불연속성을 보이는 무작위로 위치한 색션의 존재를 입증한다 — 기존에 이러한 시스템에서 관찰되지 않은 현상이다.

ABSTRACT

We investigate some properties of the nonequilibrium stationary state (NESS) of a one dimensional open system consisting of first and second class (type 1 and type 2) particles. The dynamics are totally asymmetric but the rates for the different permitted exchanges (10 -> 01, 12 -> 21, and 20 -> 02) need not be equal. The entrance and exit rates of the different species can also be different. We show that for certain classes of rates one can compute the currents and phase diagram, or at least obtain some monotonicity properties. For other classes one can obtain a matrix representation of the NESS; this generalizes previous work in which second class particles can neither enter nor leave the system. We analyze a simple example of this type and establish the existence of a randomly located shock at which the typical density profiles of all three species are discontinuous.

연구 동기 및 목표

• 개방형 이종 입자 간섭 과정에서 비대칭 역학과 일반적인 입자 진입/탈출 비율을 가진 평형이 아닌 정상 상태(NESS)를 분석하는 것.
• 이전의 매트릭스 앙사즈 결과를 확장하여, 이전의 반투명 경계 조건과 달리 제2류 입자가 시스템에 진입하고 탈출할 수 있도록 허용하는 것.
• 부스터 및 경계 비율에 따른 입자 전류의 의존성을 규명하고, 특히 단계 전이와 색션 형성에 초점을 맞추는 것.
• 모든 세 종류의 입자(1형, 2형, 빈자리)가 동시에 불연속성을 보이는 색션의 존재를 확립하는 것.
• 정확한 매트릭스 앙사즈와 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 색션의 정적 성격과 균일한 공간 분포를 검증하는 것.

제안 방법

• 일반적인 부스터 및 경계 비율을 가진 2-TASEP 모델의 NESS를 구성하기 위해 매트릭스 앙사즈 방법을 적용한다.
• 색칠 기법을 사용하여 이종 입자 시스템을 일종의 TASEP로 투영함으로써 전류 및 밀도 프로파일 분석을 가능하게 한다.
• 다른 경계 비율을 가진 시스템을 비교하기 위해 커플링 추론을 활용하여 전류의 단조성 성질을 도출한다.
• 오른쪽 끝에 있는 제2류 입자의 위치 조건을 통해 선형 밀도 프로파일을 도출한다. 이는 색션 위치를 나타낸다.
• 매트릭스 요소를 통해 제2류 입자의 위치 확률을 계산함으로써 색션이 시스템 전반에 균일하게 분포되어 있음을 입증한다.
• 무한한 균일 시스템의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 색션 조건을 검증하고, 색션을 가로질러 전류의 연속성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부스터 및 경계 비율에 어떤 조건이 성립할 경우, 매트릭스 앙사즈를 사용하여 개방형 2-TASEP의 NESS를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 1형, 2형, 빈자리 입자 전류는 입자 진입 및 탈출 비율에 어떻게 의존하며, 어떤 단조성 성질이 나타나는가?
• RQ3 NESS에서의 밀도 프로파일 불연속성(색션)의 성격은 무엇이며, 어떤 조건에서 모든 세 종류의 입자가 동시에 영향을 받는가?
• RQ4 일반적인 비율을 가진 2-TASEP에서 모든 세 종류의 입자 밀도가 동일한 위치에서 불연속성을 보일 수 있는가?
• RQ5 색션은 순수한 정적 상태로서 순수한 순환 속도가 0인가? 그리고 색션의 위치는 격자 전반에 어떻게 분포되어 있는가?

주요 결과

• 특정 비율 클래스에서 $v = 1$, $w = \text{상수}$, $\beta = \text{상수}$ 조건을 만족할 경우, 모든 세 종류의 입자에 대해 명시적인 선형 밀도 프로파일을 도출한다: $\rho_1 = \alpha$, $\rho_2 = \frac{(1-2\alpha)(w-\alpha)}{w(1-\alpha)}$, $\rho_0 = \frac{\alpha(1-2\alpha + \alpha w)}{w(1-\alpha)}$.
• 색션은 오른쪽 끝에 있는 제2류 입자의 위치에 위치하며, 시스템 전반에 균일하게 분포되어 있으며, 각 위치에서의 확률은 $\simeq \frac{1}{L}$이다.
• 색션 위치 $i$ 조건 하에서, 시스템은 오른쪽 하위계와 왼쪽 하위계로 분리된다: 왼쪽 하위계는 탈출 비율 $\beta = 1$을 가지며, 오른쪽 하위계는 진입 비율 $w$와 탈출 비율 $\alpha$를 가진다.
• 왼쪽 하위계에서는 1형 입자 밀도는 $\rho_1 = \alpha$로 일정하고, 2형 입자 밀도는 $\rho_2 = r_2$로 일정하며, 빈자리 밀도는 $\rho_0 = r_0$이다.
• 오른쪽 하위계에서는 $\alpha < w$일 경우 고밀도 상태에 있으며, $\rho_1 = 1 - \alpha$, $\rho_0 = \alpha$, $\rho_2 = 0$이다.
• 색션은 순수한 정적 상태로서 순수한 순환 속도가 0이며, 색션을 가로질러 $J_i(\vec{r};1,w) = J_i(\vec{r}';1,w)$ for $i=0,1,2$ 조건이 성립한다. 이는 무한 시스템의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 검증되었다.