[논문 리뷰] On some partitions of a flag manifold

G. Lusztig|ArXiv.org|2009. 06. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수체 위의 재수군에서 유니포텐트 원소와 관련된 플래그 다양체 분할 $Β_g^w$ 의 위상구조를 $l$-adic 코hom올로지와 특성층 기법을 사용하여 연구한다. 중심 원소 $\Pi_{g,z}$ 를 도입하여, 그의 트레이스 불변량 $\Xi^{w}_{g,z}$ 가 스프링거 대응과 유니포텐트 볼로의 동치류에서 와일 군의 동치류로 가는 사상과 연결되며, 이는 표현론과의 관련성을 지지하는 증거를 제공한다.

ABSTRACT

In an earlier paper by Kazhdan and the author, a map from the set of unipotent classes in a reductive connected group over C to the conjugacy classes in the Weyl group was defined. Here we present some experimental evidence for a possibly alternative definition of that map in terms of the pieces in certain partitions of the flag manifold.

연구 동기 및 목표

• 재수군 $G$ 에서 유니포텐트 $g$ 에 대해 $\mathcal{B}_g^w = \{B \in \mathcal{B} \mid (B, gBg^{-1}) \in \mathcal{O}_w\}$ 의 다양체의 위상적 구조를 조사한다.
• 유니포텐트 $g$ 에 대해 $\mathcal{B}_g^w$ 의 $l$-adic 코hom올로지에 $\overline{Z}(g)$ 의 작용이 있는 경우, 이가 $G$ 의 표현론에 대한 정보를 어떻게 포함하는지 이해한다.
• 코호몰로지 위에 $z \in \overline{Z}(g)$ 의 작용의 트레이스에서 유도된 불변량 $\Xi^{C}_{g,z}$ 가 스프링거 대응과 유니포텐트 볼로의 동치류에서 와일 군의 동치류로 가는 사상과 연결된다는 추측을 검증한다.
• 대칭 공간으로 [KL, 9.1]의 방법을 확장하여, $K$-오빗을 상대 와일 군 $\underline{\mathcal{W}}$ 의 동치류로 보내는 사상 $\Psi$ 를 정의한다.

제안 방법

• $\Xi^{w}_{g,z} = \sum_{i,j} (-1)^i \text{tr}(z, H^i_c(\mathcal{B}_g^w, \overline{\mathbb{Q}}_l)_j) v^j \in \mathbb{Z}[v]$ 를 정의하며, 무게 필터를 사용한 $l$-adic 코호몰로지에 기반한다.
• $\mathcal{H}$ 에서의 아이와호리-헤크 대수에서 $\Pi_{g,z} = \sum_{w \in \mathbb{W}} \Xi^{w}_{g,z} \hat{T}_w$ 를 구성하며, 여기서 $\hat{T}_w = v^{-2l(w)} T_w$ 이다.
• $g$ 에 의한 코너제이션을 프로베니우스로 대체한 [DL, Theorem 1.6] 와 유사한 추론을 사용하여 $\Pi_{g,z}$ 가 $\mathcal{H}$ 의 중심에 속함을 증명한다.
• 유니포텐트 $g$ 에 대해 $C \in \underline{\mathbb{W}}$ 에 대해 $\Xi^{C}_{g,1}$ 을 계산하고, $\Xi^{C}_{g,1} \neq 0$ 이며 $g$ 의 동치류의 경계에서 0이 되는 $C$ 의 집합을 $\mathbb{S}_g$ 로 정의한다.
• $\mathfrak{p}_\Phi = \Phi \otimes \mathfrak{p}$ 에서 정규적인 세미단순 업그레이드를 통해 $\text{unipotent } K\text{-orbits in } \mathfrak{p}_{\text{nil}}$ 에서 $\underline{\mathcal{W}}$ 로 가는 사상 $\Psi$ 를 정의하며, [KL, 9.1] 을 일반화한다.
• $A_1, A_2, B_2, G_2$ 와 같은 저랭크 군에서의 명시적 계산을 통해 $\Xi^{C}_{g,1}$ 과 $\mathbb{S}_g$ 의 크기와 관련된 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니포텐트 $g$ 에 대해 코호몰로지 불변량 $\Xi^{C}_{g,1}$ 이 $g$ 의 유니포텐트 볼로와 관련된 와일 군의 동치류 $C$ 를 식별할 수 있는가?
• RQ2 비영인 $\Xi^{C}_{g,1}$ 의 수, 즉 $|\mathbb{S}_g|$ 는 스프링거 대응에서 $\overline{Z}(g)$ 의 기약 표현의 수와 같은가?
• RQ3 $\Xi^{w}_{g,1}$ 이 와일 군 $\mathbb{W}$ 가 $\bigoplus_i H^{2i}(\mathcal{B}_g, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ 에 작용하는 스프링거 표현에서 $w$ 의 트레이스와 같은가?
• RQ4 [KL, 9.1] 의 방법이 $G=H\times H$, $K=\text{diag}(H)$ 인 경우에 대해 적용되었을 때, 이는 대칭 공간 $G/K$ 에 대해 사상 $\Psi$ 를 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ 에서 $K$-오빗에서 $\underline{\mathcal{W}}$ 로 가는 사상 $\Psi$ 는 일반적으로 단사 또는 전사인가?

주요 결과

• 모든 $G = PGL_3(\mathbb{C})$, $g$ 가 정규적인 세미단순일 때: $\Pi_{g,1} = 6 + 3(v^2 - 1)(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + (v^2 - 1)^2(\hat{T}_{12} + \hat{T}_{21}) + (v^6 - 1)\hat{T}_{121}$.
• 모든 $G = PGL_3(\mathbb{C})$, $g$ 가 트랜스베이션일 때: $\Pi_{g,1} = (2v^2 + 1) + v^4(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + v^6\hat{T}_{121}$.
• 모든 $G$ 가 $A_1$ 형일 때: $\mathbb{S}_{u_1} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_1,1} = 1 + v^2$, 그리고 $\mathbb{S}_{u_0} = \{(s_1)\}$, $\Xi^{s_1}_{u_0,1} = v^2$.
• 모든 $G$ 가 $B_2$ 형일 때: $\mathbb{S}_{u_4} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_4,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4)$, 그리고 $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_2), (s_1s_2s_1s_2)\}$, $\Xi^{(s_2)}_{u_1,1} = 2v^4$ 와 $\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(v^2 - 1)$.
• 모든 $G$ 가 $G_2$ 형일 때: $\mathbb{S}_{u_6} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_6,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4 + v^8)$, 그리고 $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_1s_2s_1s_2)\}$, $\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(1 + v^2)$.
• 대칭 공간의 경우, $(G,K) = (GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 일 때, $\Psi$ 는 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ 에서의 $K$-오빗에서 $\underline{\mathcal{W}}$ 로의 전단사 사상이다.