[논문 리뷰] On Some Smooth Symmetric Transonic Flows with Nonzero Angular Velocity and Vorticity

Shangkun Weng, Zhouping Xin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 02.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 데포메이션-컬 분해와 선형화된 혼합형 방정식을 위한 특수 다중선을 사용하여, 동심 원통형 영역 내에서 비영인 각속도와 코리올리 효과를 가진 매끄럽고 원통대칭의 초음속 나선류를 존재하고 유일하게 보장한다. 주요 결과는 음속 표면이 비특수적이고 비특성적 불안정성을 띠며, 대칭성에 따라 원통형 또는 축대칭 표면을 이룬다는 것이다.

ABSTRACT

This paper concerns the structural stability of smooth cylindrically symmetric transonic flows in a concentric cylinder. Both cylindrical and axi-symmetric perturbations are considered. The governing system here is of mixed elliptic-hyperbolic and changes type and the suitable formulation of boundary conditions at the boundaries is of great importance. First, we establish the existence and uniqueness of smooth cylindrical transonic spiral solutions with nonzero angular velocity and vorticity which are close to the background transonic flow with small perturbations of the Bernoulli's function and the entropy at the outer cylinder and the flow angles at both the inner and outer cylinders independent of the symmetric axis, and it is shown that in this case, the sonic points of the flow are nonexceptional and noncharacteristically degenerate, and form a cylindrical surface. Second, we also prove the existence and uniqueness of axi-symmetric smooth transonic rotational flows which are adjacent to the background transonic flow, whose sonic points form an axi-symmetric surface. The key elements in our analysis are to utilize the deformation-curl decomposition for the steady Euler system introduced in \cite{WengXin19} to deal with the hyperbolicity in subsonic regions and to find an appropriate multiplier for the linearized second order mixed type equations which are crucial to identify the suitable boundary conditions and to yield the important basic energy estimates.

연구 동기 및 목표

• 비영인 각속도와 코리올리 효과를 가진 매끄러운 초음속 유동이 동심 원통형 영역 내에서 구조적 안정성을 가지는지 조사한다.
• 버누이 함수와 유동 각도의 소규모 변화에 대해 원통대칭 초음속 나선류의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 음속 표면의 기하학적 및 해석적 성질을 분석하여, 비특수적이고 비특성적 불안정성이 없음을 보장한다.
• 유사한 구조적 안정성을 가지는 축대칭 초음속 회전류로 분석을 확장한다.
• 선형화된 혼합형 방정식을 위한 새로운 다중선 방법을 통해 적절한 경계 조건을 규명한다.

제안 방법

• 초음속 영역에서의 비선형성 처리를 위해 정 steady Euler 시스템에 대해 데포메이션-컬 분해를 적용한다.
• 선형화된 2차 혼합형 방정식에 대해 핵심적인 에너지 추정을 도출하기 위해 특정 다중선을 도입한다.
• 호도그래프 방법을 적용하고 원통형 영역 내에서 한쪽 경계값 문제를 고려하여 초음속 유동을 모델링한다.
• 폭발 증명과 아르체라-아스콜리 정리를 사용하여 무한대에서의 해의 점근적 행동을 분석한다.
• 바riers 함수를 사용한 최대원리에 의해 공간 무한대에서 기울기의 소멸을 증명한다.
• 적절한 함수 공간에서 수축 사상 원리를 적용하여 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 버누이 함수와 경계에서의 유동 각도의 소규모 변화에 대해 비영인 각속도와 코리올리 효과를 가진 매끄러운 원통대칭 초음속 나선류가 존재하고 유일한가?
• RQ2 이러한 유동에서 음속 표면의 기하학적 및 해석적 성질은 무엇이며, 특히 불안정성에 관해 어떻게 되는가?
• RQ3 내부 및 외부 원통에서의 경계 조건은 초음속 해의 존재성과 정규성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 특수 다중선으로 유도된 에너지 추정을 사용하여 이러한 유동의 구조적 안정성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 유사한 성질을 가진 축대칭 초음속 회전류가 존재하며 구조적 안정성을 유지하는가?

주요 결과

• 버누이 함수와 경계에서의 유동 각도의 소규모 변화에 대해 비영인 각속도와 코리올리 효과를 가진 매끄러운 원통대칭 초음속 나선류가 존재하고 유일하다.
• 이 유동의 음속 표면은 비특수적이고 비특성적 불안정성이 없으며, 원통형 표면을 이룬다.
• 축대칭 초음속 회전류의 경우 음속 표면은 축대칭이며, 마찬가지로 비특수적이고 비특성적 불안정성이 없다.
• 해는 점근적 감쇠를 만족한다: 속도 편미분은 $x_3 \to \pm\infty$로 갈수록 소멸하여 물리적 일관성을 확보한다.
• 다중선 방법을 통해 유도된 에너지 추정은 정확한 경계 조건을 규명하고 유일성을 증명하는 데 핵심적이다.
• 홀더 공간 프레임워크에서의 수축 사상 원리에 의해 모든 구조적 및 정규성 조건을 만족하는 유일한 고정점 해가 존재함을 확인한다.