[논문 리뷰] On strongly norm attaining Lipschitz operators

B. Cascales, Rafa Chiclana외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 09.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거리 공간 M와 바나흐 공간 Y에서 리프시츠 노름을 강하게 도달하는 함수들의 집합 SNA(M,Y)를 조사한다. M이 길이 공간이거나 양의 르베그 측도를 가진 R의 닫힌 부분집합인 경우 SNA(M,Y)는 노름 밀도가 아님을 입증하지만, 리프시츠 자유 공간 F(M)에 대한 특정 선형 조건을 만족할 경우 노름 밀도가 성립하며, SNA(M,R)의 약한 순차 밀도와 이산 M 조건 하에서 이중극 노름의 삼각형성까지도 증명한다.

ABSTRACT

We study the set $\operatorname{SNA}(M,Y)$ of those Lipschitz maps from a (complete pointed) metric space $M$ to a Banach space $Y$ which (strongly) attain their Lipschitz norm (i.e. the supremum defining the Lipschitz norm is a maximum). Extending previous results, we prove that this set is not norm dense when $M$ is a length space (or local) or when $M$ is a closed subset of $\mathbb{R}$ with positive Lebesgue measure, providing new examples which have very different topological properties than the previously known ones. On the other hand, we study the linear properties which are sufficient to get Lindenstrauss property A for the Lipschitz-free space $\mathcal{F}(M)$ over $M$, and show that all of them actually provide the norm density of $\operatorname{SNA}(M,Y)$ in the space of all Lipschitz maps from $M$ to any Banach space $Y$. Next, we prove that $\operatorname{SNA}(M,\mathbb{R})$ is weakly sequentially dense in the space of all Lipschitz functions for all metric spaces $M$. Finally, we show that the norm of the bidual space of $\mathcal{F}(M)$ is octahedral provided the metric space $M$ is discrete but not uniformly discrete or $M'$ is infinite.

연구 동기 및 목표

• 리프시츠 노름을 강하게 도달하는 함수들의 집합 SNA(M,Y)의 위상적 성질을 규명하는 것.
• SNA(M,Y)가 M에서 Y로의 모든 리프시츠 함수들의 공간에서 밀도를 가지는 조건을 규명하는 것.
• 리프시츠 자유 공간 F(M)의 선형 성질과 SNA(M,Y)의 밀도 간의 관계를 조사하는 것.
• 모든 실수 계수 리프시츠 함수들의 공간에서 SNA(M,R)의 약한 순차 밀도를 확립하는 것.
• 특정 거리 공간 조건 하에서 F(M)의 이중극 공간에서의 노름이 삼각형인지 분석하는 것.

제안 방법

• 거리 공간 M 위의 리프시츠 자유 공간 F(M)의 구조를 분석함으로써 SNA(M,Y)의 노름 밀도에 관한 이전 결과를 확장한다.
• 리프시츠 노름의 행동과 그 도달 성질을 연구하기 위해 함수해석학 및 거리 기하학의 기법을 적용한다.
• 길이 공간과 국소적 구조의 개념을 사용하여 SNA(M,Y)가 노름 밀도가 아님을 보여주는 반례를 구성한다.
• 균일 이산성과 유도된 집합 M'의 개념을 적용하여 F(M)의 이중극 노름이 삼각형인 조건을 특성화한다.
• 실수 계수 리프시츠 함수들의 공간에서 약한 순차 밀도의 추론을 사용하여 SNA(M,R)가 약하게 순차적으로 밀도가 있음을 보인다.
• M의 기하적 성질과 F(M)의 선형 성질 간의 상호작용을 분석하여 SNA(M,Y)의 노름 밀도를 위한 충분조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리 공간 M에 어떤 조건이 성립할 경우, 리프시츠 노름을 강하게 도달하는 함수들의 집합 SNA(M,Y)가 M에서 Y로의 모든 리프시츠 함수들의 공간에서 밀도를 가질 수 있는가?
• RQ2 리프시츠 자유 공간 F(M)의 선형 성질에 의해 SNA(M,Y)의 노름 밀도를 보장할 수 있는가?
• RQ3 모든 실수 계수 리프시츠 함수들의 공간에서, 임의의 거리 공간 M에 대해 SNA(M,R)는 약하게 순차적으로 밀도를 가질 수 있는가?
• RQ4 특히 이산 거리 공간의 경우, F(M)의 이중극 공간에서의 노름이 삼각형인가?
• RQ5 M이 R의 양의 측도를 가진 닫힌 부분집합임에도 불구하고 SNA(M,Y)의 노름 밀도가 실패하는 이유는 무엇이며, 어떤 위상적 및 기하적 성질이 그 원인이 되는가?

주요 결과

• M이 길이 공간이거나 르베그 측도가 양인 R의 닫힌 부분집합인 경우 SNA(M,Y)는 노름 밀도가 아니며, 이는 서로 다른 위상적 특성을 지닌 새로운 반례를 제공한다.
• 리프시츠 자유 공간 F(M)의 특정 선형 성질이 만족될 경우 SNA(M,Y)의 노름 밀도가 성립하며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 모든 실수 계수 리프시츠 함수들의 공간에서 임의의 거리 공간 M에 대해 SNA(M,R)는 약하게 순차적으로 밀도를 가진다.
• M이 이산적이지만 균일 이산적이지 않거나, 유도된 집합 M'이 무한한 경우 F(M)의 이중극 공간에서의 노름은 삼각형이 된다.
• 논문은 M의 기하적 구조와 이중극 노름의 삼각성 간의 연결 고리를 확립하며, 바나흐 공간 이론에서 알려진 결과를 확장한다.
• 결과들은 SNA(M,Y)의 위상적 행동이 M의 거리적 및 위상적 성질(예: 길이 공간이거나 R에서 양의 측도를 가짐)에 의해 결정된다는 점을 보여준다.