[논문 리뷰] On systems with finite ergodic degree

Stefano Isola|ArXiv.org|2003. 08. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 34인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비합산 가능한 변동을 가진 잠재력 시스템을 분류하기 위해 에르고딕 차수 $ d $ 라는 개념을 도입한다. $ d > 0 $ 일 때는 평형 측도의 혼합 속도가 $ n^{-d} $ 의 다항식 속도로 감소하며, $ d \leq 0 $ 일 때는 불변 측도가 무한대이며 스케일링 속도가 $ n^d $ 임을 규명한다. 분석은 유도 절차와 연산자 값을 갖는 멱급수를 사용하여 스펙트럼 성질과 역동적 제타함수, 상관관계 감쇠를 연결한다.

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory of a class of symbolic dynamical systems $(Ø, T, μ)$ where $T:Ø o Ø$ the left shift transformation on $Ø=\prod_0^\infty\{0,1\}$ and $μ$ is a $\s$-finite $T$-invariant measure having the property that one can find a real number $d$ so that $μ(τ^d)=\infty$ but $μ(τ^{d-ε})0$, where $τ$ is the first passage time function in the reference state 1. In particular we shall consider invariant measures $μ$ arising from a potential $V$ which is uniformly continuous but not of summable variation. If $d>0$ then $μ$ can be normalized to give the unique non-atomic equilibrium probability measure of $V$ for which we compute the (asymptotically) exact mixing rate, of order $n^{-d}$. We also establish the weak-Bernoulli property and a polynomial cluster property (decay of correlations) for observables of polynomial variation. If instead $d\leq 0$ then $μ$ is an infinite measure with scaling rate of order $n^d$. Moreover, the analytic properties of the weighted dynamical zeta function and those of the Fourier transform of correlation functions are shown to be related to one another via the spectral properties of an operator-valued power series which naturally arises from a standard inducing procedure. A detailed control of the singular behaviour of these functions in the vicinity of their non-polar singularity at $z=1$ is achieved through an approximation scheme which uses generating functions of a suitable renewal process. In the perspective of differentiable dynamics, these are statements about the unique absolutely continuous invariant measure of a class of piecewise smooth interval maps with an indifferent fixed point.

연구 동기 및 목표

• 비합산 가능한 변동을 가진 기호 동역계 시스템의 에르고딕성 및 혼합 성질을 규명하는 것.
• 에르고딕 차수 $ d $ 를 정의하고, 첫 번째 통과 시간 함수의 유한한 모멘트 수를 제어하는 연속적 매개변수로 분석하는 것.
• 무한 불변 측도의 경우($ d \leq 0 $) 정확한 渐近 스케일링 속도와 유한 평형 측도의 경우($ d > 0 $) 혼합 속도를 확립하는 것.
• 유도 절차로부터 유도된 연산자 값을 갖는 멱급수의 스펙트럼 성질과 역동적 제타함수 및 상관관계 함수의 특이성 간의 관계를 규명하는 것.
• 간격 맵에서 불변 고정점이 있는 경우에 이 이론을 적용하여 기존의 혼합 및 스케일링 행동에 대한 결과를 복원하고 보완하는 것.

제안 방법

• 지역 헬더 연속 함수 위에 작용하는 연산자 값을 갖는 멱급수 $ \mathcal{M}_z $ 를 도입하며, 이의 스펙트럼 성질이 원래 시스템의 전이 연산자와 연결됨을 보여준다.
• 표준적인 유도 절차를 사용하여 $ \sigma $-유한한 불변 측도 $ \mu $ 를 구성하며, 에르고딕 차수 $ d $ 는 $ \mu(\tau^d) $ 의 발산 임계값으로 정의된다.
• 통과 시간의 생성함수와 관련된 $ (1 - \mathcal{M}_z)^{-1} $ 의 渐近 행동을 제어하기 위해 복원 과정 근사법을 적용한다.
• 스펙트럼 분석을 통해 $ \mathcal{M}_z $ 와 상관관계 함수의 푸리에 변환 및 역동적 제타함수 간의 대응을 확립한다.
• 멱급수의 타우버 정리(타우버 정리)를 적용하여 $ z = 1 $ 근처의 행동으로부터 상관관계 수열과 제타함수의 정확한 渐近 행동을 유도한다.
• 간격 맵에서 불변 고정점이 있는 경우에 이 이론을 적용하며, 도함수의 변동에 대한 명시적 추정을 사용하여 $ d = \frac{1}{s} - 1 $ 을 계산하고 스케일링 법칙을 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비합산 가능한 변동 잠재력이 있는 시스템에서 에르고딕 차수 $ d $ 가 상관관계 감쇠와 혼합 속도를 어떻게 제어하는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 첫 번째 통과 시간 분포 및 그 모멘트의 정확한 渐近 행동은 무엇인가?
• RQ3 역동적 제타함수의 특이성과 상관관계 함수의 푸리에 변환은 어떻게 연관된 유도된 전이 연산자의 스펙트럼 성질과 관련이 있는가?
• RQ4 유도 절차와 복원 근사법을 얼마나 정확한 스케일링 법칙을 도출하는 데 활용할 수 있는가?
• RQ5 에르고딕 차수는 어떤 영향을 미치며, 무한 측도의 경우에 대해 약한 버르바흐 성질과 다항식 감쇠 상관관계에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 모든 $ d > 0 $ 에 대해, 비원소적 평형 확률 측도는 순서 $ n^{-d} $ 의 혼합 속도를 보이며, 다항식 변동을 가진 관측량에 대해 상관관계가 다항식으로 감쇠한다.
• 모든 $ d > 0 $ 에 대해, 시스템은 약한 버르바흐 성질을 만족하며, 비지수적 혼합에도 불구하고 강한 확률적 행동을 보임을 확인한다.
• 모든 $ d \leq 0 $ 에 대해, 불변 측도는 무한대이며, $ \mu(E \cap T^{-n}E) $ 의 스케일링 속도는 渐近적으로 $ n^d $ 이며, 정확한 渐近 행동은 $ s > 1 $ 일 때 $ \sim c_1 n^{-1+1/s} $, $ s = 1 $ 일 때 $ \sim c_2 (\log n)^{-1} $, $ 0 < s < 1 $ 일 때 $ \sim c_3 n^{1-1/s} $ 이다.
• 역동적 제타함수는 $ z = 1 $ 에서 비극성 특이성을 가지며, 이의 행동은 근사 복원 과정의 생성함수에 의해 결정된다.
• 0 근처에서 $ G(x) \sim x^s $ 를 만족하는 간격 맵에 대해, 에르고딕 차수는 $ d = \frac{1}{s} - 1 $ 이며, 지수 $ \gamma \geq 1 - s $ 를 가진 헬더 관측량의 혼합 속도는 $ \mathcal{O}(n^{1-1/s}) $ 이다.
• 상호 등가성 $ \rho(A_n) \sim h(0) r (r s n)^{-1 - 1/s} $ 는 정확한 타우버 분석을 가능하게 하며, 상관관계 수열에 대해 정확한 거듭제곱 법칙 또는 로그 감쇠를 도출한다.