[논문 리뷰] On SZK and PP.

Adam Bouland, Lijie Chen외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 근사도에 대한 강화된 딱딱함 증명 정리(_hardness amplification theorem)를 사용하여, 비상호적 통계적 제로 지식(NISZK)과 무한오차 랜덤화 질의 및 통신 복잡도(UPP) 사이의 새로운 분리 관계를 수립한다. 이는 Watrous(2002)가 제기한 열린 문제를 해결하며, NISZK가 PP에 포함되지 않는 오라클을 구성하고, PZK와 coPZK 사이, 그리고 SZK와 PZK 사이의 분리 관계를 보이며, 성질 테스팅과 스트리밍 증명에 영향을 미친다.

ABSTRACT

In both query and communication complexity, we give separations between the class NISZK, containing those problems with non-interactive statistical zero knowledge proof systems, and the class UPP, containing those problems with randomized algorithms with unbounded error. These results significantly improve on earlier query separations of Vereschagin [Ver95] and Aaronson [Aar12] and earlier communication complexity separations of Klauck [Kla11] and Razborov and Sherstov [RS10]. In addition, our results imply an oracle relative to which the class NISZK is not contained in PP. This answers an open question of Watrous from 2002 [Aar]. The technical core of our result is a stronger hardness amplification theorem for approximate degree, which roughly says that composing the gapped-majority function with any function of high approximate degree yields a function with high threshold degree. Using our techniques, we also give oracles relative to which the following two separations hold: perfect zero knowledge (PZK) is not contained in its complement (coPZK), and SZK (indeed, even NISZK) is not contained in PZK (indeed, even HVPZK). Along the way, we show that HVPZK is contained in PP in a relativizing manner. We prove a number of implications of these results, which may be of independent interest outside of structural complexity. Specifically, our oracle separation implies that certain parameters of the Polarization Lemma of Sahai and Vadhan [SV03] cannot be much improved in a black-box manner. Additionally, it implies new lower bounds for property testing algorithms with error probability arbitrarily close to 1/2. Finally, our results imply that two-message protocols in the streaming interactive proofs model of Cormode et al. [CTY11] are surprisingly powerful in the sense that, with just logarithmic cost, they can compute functions outside of UPP^CC.

연구 동기 및 목표

• Watrous(2002)가 제기한 오라클 환경에서 NISZK가 PP에 포함되는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 NISZK와 UPP 사이의 질의 및 통신 복잡도 분리 관계를 향상시키기 위해.
• 완전한 제로 지식(PZK)과 그 여집합(coPZK) 사이, 그리고 SZK와 PZK 사이의 새로운 분리 관계를 수립하기 위해.
• 블랙박스 환경에서의 펄싱 레미나의 한계를 분석하고, 높은 오차를 가진 성질 테스팅에 대한 새로운 하한을 유도하기 위해.
• 로그arithmic 비용을 가진 두 메시지 스트리밍 인터랙티브 증명의 능력을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 근사도에 대한 더 강력한 딱딱함 증명 정리를 개발하여, 갭 메이저리티 함수를 임의의 높은 근사도 함수와 조합할 경우 높은 임계도를 가지는 함수가 얻어짐을 보여준다.
• 이 강화된 딱딱함을 활용하여 NISZK와 UPP 사이의 질의 및 통신 복잡도 분리 관계를 수립한다.
• 임계도 결과를 활용하여 NISZK가 PP에 포함되지 않는 오라클과 PZK가 coPZK에 포함되지 않는 오라클을 구축한다.
• HVPZK가 상대화 가능한 방식으로 PP에 포함됨을 보이며, 추가적인 분리 관계를 지원한다.
• 이 틀을 적용하여 로그arithmic 비용을 가진 두 메시지 스트리밍 프로토콜이 UPP^CC 밖의 함수를 계산할 수 있음을 보여준다.
• 블랙박스 구성의 한계를 분석함으로써 펄싱 레미나와 성질 테스팅에 대한 영향을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Watrous(2002)의 문제를 해결하여, 오라클 상에서 NISZK가 PP에 포함되지 않는가를 분리할 수 있는가?
• RQ2 이전에 알려진 바와 비교해, NISZK와 UPP 사이의 더 강력한 질의 및 통신 복잡도 분리 관계를 달성할 수 있는가?
• RQ3 오라클 환경에서 완전한 제로 지식(PZK)이 그 여집합(coPZK)에 엄밀히 포함되는가?
• RQ4 오라클 모델에서 SZK가 PZK보다 엄밀히 강력한가?
• RQ5 오차 확률이 1/2에 가까워질 때, 펄싱 레미나와 성질 테스팅 알고리즘의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• Watrous(2002)의 열린 문제를 해결하기 위해 NISZK가 PP에 포함되지 않는 오라클을 구성하였다.
• 근사도에 대한 더 강력한 딱딱함 증명 정리를 수립하여, 갭 메이저리티 함수를 임의의 높은 근사도 함수와 조합할 경우 높은 임계도를 가지는 함수가 얻어짐을 보였다.
• 오라클 환경에서 PZK와 coPZK 사이, 그리고 SZK와 PZK 사이의 새로운 분리 관계를 보였다.
• HVPZK가 상대화 가능한 방식으로 PP에 포함됨을 보였으며, 이는 분리 관계를 뒷받침한다.
• 결과적으로 두 메시지 스트리밍 프로토콜이 로그arithmic 비용을 가질 경우 UPP^CC 밖의 함수를 계산할 수 있음을 보여주며, 놀라운 능력을 지닌다.
• 오차 확률이 1/2에 근접하는 성질 테스팅 알고리즘에 대해 새로운 하한을 도출하였으며, 블랙박스 환경에서 펄싱 레미나의 매개변수는 거의 최적임을 보였다.