[논문 리뷰] On testing for high-dimensional white noise

Zeng Li, Clifford Lam외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 10.

Random Matrices and Applications참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차원적 화이트 노이즈를 위한 새로운 포트마네이 테스트를 제안한다. 이 테스트는 첫 q개의 지연된 표본 자기공분산 행렬의 제곱 특이값의 합을 사용하여 구성 요소 시계열 간 및 내부의 순차적 상관관계를 집계한다. 고차원 점점 증가하는 점근적 조건(p, T → ∞) 하에서, 귀무가설과 특정 VMA(1) 대립가설 하에서 검정 통계량은 점근적으로 정규분포를 띤다. 핵심 매개변수의 일致한 추정을 통해 실용적 구현이 가능하며, 기존의 Hosking 및 Li-McLeod 테스트에 비해 유한 표본 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

Testing for white noise is a classical yet important problem in statistics, especially for diagnostic checks in time series modeling and linear regression. For high-dimensional time series in the sense that the dimension $p$ is large in relation to the sample size $T$, the popular omnibus tests including the multivariate Hosking and Li-McLeod tests are extremely conservative, leading to substantial power loss. To develop more relevant tests for high-dimensional cases, we propose a portmanteau-type test statistic which is the sum of squared singular values of the first $q$ lagged sample autocovariance matrices. It, therefore, encapsulates all the serial correlations (upto the time lag $q$) within and across all component series. Using the tools from random matrix theory and assuming both $p$ and $T$ diverge to infinity, we derive the asymptotic normality of the test statistic under both the null and a specific VMA(1) alternative hypothesis. As the actual implementation of the test requires the knowledge of three characteristic constants of the population cross-sectional covariance matrix and the value of the fourth moment of the standardized innovations, non trivial estimations are proposed for these parameters and their integration leads to a practically usable test. Extensive simulation confirms the excellent finite-sample performance of the new test with accurate size and satisfactory power for a large range of finite $(p,T)$ combinations, therefore ensuring wide applicability in practice. In particular, the new tests are consistently superior to the traditional Hosking and Li-McLeod tests.

연구 동기 및 목표

• p가 T에 비해 큰 고차원 시계열에서 Hosking 및 Li-McLeod와 같은 전통적 종합 검정법이 겪는 심각한 보수성과 검정력 손실 문제를 해결하기 위해.
• 벡터 자기상관합계 모형 및 요인 모형에서의 모형 점검에 적합한 실용적이고 확장 가능한 고차원 화이트 노이즈 검정법을 개발하기 위해.
• 랜덤 행렬 이론을 활용하여 유한 표본 행동에 빠르게 수렴하는 점근적 분포를 도출함으로써 고차원 설정에서의 정확도를 향상시키기 위해.
• 모집단 교차적 공분산 행렬의 세 개의 특성 상수와 오차항의 네 번째 모멘트를 추정함으로써, 실무에서의 검정법 적용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 검정 통계량은 첫 q개의 지연된 표본 자기공분산 행렬의 제곱 특이값의 합으로 정의되며, 모든 구성 요소 시계열과 지연 간의 순차적 상관관계를 포괄한다.
• 랜덤 행렬 이론의 도구를 사용하여 귀무가설과 특정 VMA(1) 대립가설 하에서 검정 통계량의 점근적 정규성을 도출한다.
• 표본 모멘트와 스펙트럼 성질을 이용하여 모집단 교차적 공분산 행렬의 세 개의 특성 상수를 일致하게 추정한다.
• 표준화된 오차항의 네 번째 모멘트를 데이터의 곡률 유사 기능에 기반한 강력한 추정기법을 사용하여 비정상적으로 추정한다.
• 점근적 분포에 추정된 매개변수를 삽입함으로써 실용적이고 크기 보정된 검정을 수행한다.
• 다양한 (p, T) 조합, 특히 고차원 비율(p/T)이 높은 경우를 포함한 광범위한 시뮬레이션을 통해 유한 표본 성능을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p ≈ T 또는 p > T인 고차원 설정에서 Hosking 및 Li-McLeod와 같은 전통적 종합 검정법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ2 고차원 시계열에서 모든 구성 요소 시계열과 지연 간의 순차적 상관관계를 효과적으로 포괄하는 새로운 검정 통계량을 구성할 수 있는가?
• RQ3 고차원 극한 조건에서 귀무가설과 특정 VMA(1) 대립가설 하에서 제안된 검정법이 점근적으로 정규분포를 따르는가?
• RQ4 세 개의 특성 상수와 오차항의 네 번째 모멘트를 포함한 알려지지 않은 모집단 매개변수들이 고차원 설정에서 일치하게 추정될 수 있는가?
• RQ5 다양한 (p, T) 조합에서 기존 방법과 비교해 새로운 검정법의 크기와 검정력은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 검정법 Gq 및 Gq,1는 고차원 비율(p/T)이 높은 모든 테스트 (p, T) 조합에서 정확한 크기 제어를 달성하며, 기존의 Hosking 및 Li-McLeod 검정법은 명목상 5%이지만 실제로는 약 0.1% 수준에서 심각한 크기 왜곡을 보인다.
• 새로운 검정법은 모든 시나리오에서 높은 검정력을 유지하며, p ≥ 250 및 T ≥ 5000일 경우 90%의 경우에서 조정된 검정력이 1.0에 도달한다. 이는 중간 정도의 순차적 상관관계 조건에서도 성립한다.
• Hosking 및 Li-McLeod 검정법은 평균, 분산, 95번째 백분위수 추정치에서 막대한 상대 오차를 보이며, p/T = 0.9일 경우 분산 추정치에서 최대 9170%까지 오차가 발생한다. 이는 유한 표본 근사의 열악함을 시사한다.
• 제안된 검정법의 추정된 매개변수(특성 상수 및 네 번째 모멘트)는 안정적이고 정확한 검정 통계량을 이끌어내며, 대부분의 경우 평균 및 분산의 상대 오차가 1% 이내이다.
• 고차원 p/T 비율(예: p/T = 0.9) 환경에서, 새로운 검정법은 작은 표본 크기(T = 600)에서도 검정력이 0.95 이상을 유지하지만, 기존 검정법은 검정력이 급격히 감소한다.
• 기존의 Hosking 및 Li-McLeod 검정법에 비해 크기와 검정력 측면에서 일관되게 뛰어나며, 특히 전통적 검정법이 실패하는 고차원 설정에서 두각을 나타낸다.