[论文解读] On the $3$-representations of groups and the $2$-categorical Traces

Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在严格3-范畴中引入了有限群的3-表示，并为1-自同态定义了2-范畴迹，证明了群元素的中心化子在该迹上具有范畴化作用。主要贡献在于提出了诱导严格2-范畴作用的3-特征公式，通过2-范畴化迹和群作用，将群特征理论推广至高阶范畴。

ABSTRACT

To $2$-categorify the theory of group representations, we introduce the notions of the $3$-representation of a group in a strict $3$-category and the strict $2$-categorical action of a group on a strict $2$-category. We also $2$-categorify the concept of the trace by introducing the $2$-categorical trace of a $1$-endomorphism in a strict $3$-category. For a $3$-representation $ρ$ of a group $G$ and an element $f$ of $G$, the $2$-categorical trace $\mathbb{T}r_2 ρ_f $ is a category. Moreover, the centralizer of $f$ in $G$ acts categorically on this $2$-categorical trace. We construct the induced strict $2$-categorical action of a finite group, and show that the $2$-categorical trace $ \mathbb{T}r_2$ takes an induced strict $2$-categorical action into an induced categorical action of the initia groupoid. As a corollary, we get the $3$-character formula of the induced strict $2$-categorical action.

研究动机与目标

• 通过在严格3-范畴中引入3-表示以及在2-范畴上的严格2-范畴群作用，对群表示理论进行2-范畴化。
• 通过在严格3-范畴中定义1-自同态的2-范畴迹，将迹的概念推广至2-范畴。
• 确立群元素的中心化子在3-表示的2-范畴迹上具有范畴化作用。
• 构建有限群的诱导严格2-范畴作用，并证明2-范畴迹将其映射为初始广群上的诱导范畴作用。
• 推导出诱导严格2-范畴作用的3-特征公式，将经典特征理论扩展至高阶范畴结构。

提出的方法

• 将有限群G的3-表示定义为从G的去连通化到严格3-范畴的严格3-函子，将群元素赋予1-同构，将对赋予2-同构，将三元组赋予3-同构，并满足3-上链条件。
• 引入2-范畴迹Tr₂ρ_f，作为与3-表示中1-自同态ρ_f相关的范畴，使用2规范场论和高阶范畴论中的迹构造。
• 通过从子群H到G的范畴归纳过程，在2-范畴上构建诱导的严格2-范畴作用，推广经典诱导表示构造。
• 证明2-范畴迹保持归纳性，将诱导的2-范畴作用映射为初始广群上的诱导范畴作用。
• 利用3-同构的结合律和3-范畴中的交换律，验证定义中心化子在迹上作用的自然同构的相干性。
• 几何地验证3-上链条件，即作为由五个单形组成的4-单形边界上的恒等3-箭头。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过严格3-范畴中的3-表示对群表示理论进行2-范畴化？
• RQ2 在2-范畴的语境下，线性算子迹的正确高阶范畴推广是什么？
• RQ3 群元素的中心化子如何作用于3-表示的2-范畴迹上？
• RQ4 诱导严格2-范畴作用的2-范畴迹具有何种结构？
• RQ5 诱导2-范畴作用的3-特征公式是什么？它与经典特征理论有何关联？

主要发现

• 3-表示中1-自同态ρ_f的2-范畴迹Tr₂ρ_f是一个范畴，而非向量空间，将经典迹推广至高阶范畴。
• f ∈ G的中心化子通过明确定义的2-同构在Tr₂ρ_f上具有范畴化作用，提供了对共轭函数上中心化子作用的高阶类比。
• 2-范畴迹函子将G的诱导严格2-范畴作用映射为初始广群上的诱导范畴作用，保持归纳结构。
• 3-上链条件确保3-同构的相干性，几何上解释为4-单形边界上的恒等箭头。
• 诱导2-范畴作用的3-特征公式被推导为诱导作用的范畴迹，将2-特征扩展为高阶范畴设定下的3-特征。
• 自然同构Γ_k,hg与Γ_kh,g通过交换律满足结合律，确认了中心化子在迹上作用的相干性。