[论文解读] On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum field theory

Bruce Bartlett|ArXiv.org|Jan 26, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 106被引用 40

一句话总结

本文建立了有限群的酉2-表示与拓扑量子场论（TQFT）之间的深刻联系，表明酉2-表示2-范畴上恒等2-函子的变换的 braided monoidal category 与具有融合张量积的群上共轭等变向量丛的范畴等价。此外，本文证明了2-特征函子是酉全忠实的，并通过自同态上的对合与恒等函子的扭曲张量自然变换来刻画融合范畴上的典范结构。

ABSTRACT

This thesis contains various results on unitary 2-representations of finite groups and their 2-characters, as well as on pivotal structures for fusion categories. The motivation is extended topological quantum field theory (TQFT), where the 2-category of unitary 2-representations of a finite group is thought of as the `2-category assigned to the point' in the untwisted finite group model. The first result is that the braided monoidal category of transformations of the identity on the 2-category of unitary 2-representations of a finite group computes as the category of conjugation equivariant vector bundles over the group equipped with the fusion tensor product. This result is consistent with the extended TQFT hypotheses of Baez and Dolan, since it establishes that the category assigned to the circle can be obtained as the `higher trace of the identity' of the 2-category assigned to the point. The second result is about 2-characters of 2-representations, a concept which has been introduced independently by Ganter and Kapranov. It is shown that the 2-character of a unitary 2-representation can be made functorial with respect to morphisms of 2-representations, and that in fact the 2-character is a unitarily fully faithful functor from the complexified Grothendieck category of unitary 2-representations to the category of unitary equivariant vector bundles over the group. The final result is about pivotal structures on fusion categories, with a view towards a conjecture made by Etingof, Nikshych and Ostrik. It is shown that a pivotal structure on a fusion category cannot exist unless certain involutions on the hom-sets are plus or minus the identity map, in which case a pivotal structure is the same thing as a twisted monoidal natural transformation of the identity functor on the category. Moreover the pivotal structure can be made spherical if and only if these signs can be removed.

研究动机与目标

• 建立有限群的酉2-表示2-范畴与具有融合积的共轭等变向量丛范畴之间的范畴等价。
• 证明从酉2-表示的复化Grothendieck范畴到酉等变向量丛的2-特征函子是酉全忠实的。
• 通过分析同态集上某些对合为±恒等映射的条件，刻画融合范畴上的典范结构，并将其与恒等函子的扭曲张量自然变换联系起来。
• 为未扭有限群模型中的扩展TQFT提供几何与范畴论基础，特别是验证扩展TQFT假设 Z(S¹) ≃ Dim Z(pt)。

提出的方法

• 构建有限群的酉2-表示2-范畴，配备酉2-函子、变换与修正。
• 对酉2-表示2-范畴应用“恒等的高阶迹”构造（Dim），得到恒等2-函子的变换范畴。
• 使用弦图演算与影片移动技术，验证伴随等价与自然变换的相干性法则。
• 通过纤维卷积与共轭诱导的辫子结构，定义有限群G上共轭等变酉向量丛范畴上的融合张量积。
• 将2-特征函子定义为从2-表示的复化Grothendieck范畴到酉等变向量丛范畴的酉、全忠实且线性的映射。
• 通过研究同态集上诱导的对合并将其与恒等函子的张量自然变换联系起来，分析融合范畴上的典范结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未扭有限群模型的扩展TQFT框架中，圆周被赋予了何种范畴结构？
• RQ2 如何使酉2-表示的2-特征函子化为函子？其本质像为何？
• RQ3 在何种条件下融合范畴上存在典范结构？其与恒等函子的自然变换有何关系？
• RQ4 融合范畴同态集上的对合如何约束典范与球面对称结构的存在性？
• RQ5 恒等2-函子变换范畴的辫子张量范畴与共轭等变向量丛范畴之间的确切关系为何？

主要发现

• 有限群的酉2-表示2-范畴上恒等2-函子的变换范畴，与具有融合张量积的群上共轭等变酉向量丛范畴等价。
• 2-特征函子是从酉2-表示的复化Grothendieck范畴到群上酉等变向量丛范畴的酉全忠实函子。
• 融合范畴上的典范结构存在的充要条件是同态集上诱导的对合为±恒等映射，此时结构对应于恒等函子的扭曲张量自然变换。
• 当且仅当对合的符号可被消除（即所有对合均为恒等映射）时，典范结构可被赋予球面对称性。
• 恒等2-函子变换范畴上的辫子张量结构通过等变向量丛上的融合积实现，其辫子由第一个因子的共轭与交换定义。
• 高阶迹与融合范畴之间等价性的证明依赖于影片移动演算与3-范畴2Cat中伴随等价的相干性定理。