[论文解读] On the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators

Ali Karaisa|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于 $(p,q)$-微积分的二元 $(p,q)$-Bernstein 算子，并建立了其逼近性质，包括一种 Voronovskaja 型渐近公式。作者利用连续模和 Lipschitz 型最大函数推导了收敛速度，证明在 $p_n$ 和 $q_n$ 满足适当条件时，该算子一致收敛于目标函数。关键结果是一个二阶渐近展开式，表明算子的收敛速度与函数的二阶偏导数有关。

ABSTRACT

In the present study, we have given a corrigendum to our paper on the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Recently, we \cite{kar} have defined the bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Later, we have aware of Acar et. al \cite{acar} already have given some moments. In this case, we have revised \cite[Lemma 2.3]{kar}.

研究动机与目标

• 使用 $(p,q)$-微积分定义一种新的二元 $(p,q)$-Bernstein 算子，用于逼近二元连续函数。
• 利用 Korovkin 型收敛定理研究所提出算子的逼近性质。
• 通过连续模和 Lipschitz 型最大函数建立收敛速度。
• 推导算子的 Voronovskaja 型渐近公式，刻画其在 $n \to \infty$ 时的收敛行为。
• 修正并完善先前工作中 Lemma 2.3 的结果，承认 Acar 等人关于 $(p,q)$-Bernstein 算子矩的研究成果。

提出的方法

• 将二元 $(p,q)$-Bernstein 算子构造为 $x$ 和 $y$ 方向上的单变量 $(p,q)$-Bernstein 算子的乘积，使用 $(p,q)$-整数和二项式系数。
• 通过涉及 $p$-移位阶乘和 $p,q$-二项式展开的基函数 $R_{n,k}(p,q;x)$ 定义算子。
• 应用 Korovkin 定理证明算子序列在 $[0,1]^2$ 上的一致收敛性。
• 利用连续模 $\omega(f;\delta)$ 和 Lipschitz 型最大函数 $\tilde{\omega}(f;\delta)$ 估计收敛速度。
• 通过将 $f$ 的二阶泰勒展开并分析 $[n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right)$ 的极限，建立 Voronovskaja 型定理。
• 证明依赖于计算算子的矩并取 $n \to \infty$ 的极限，假设 $p_n \to 1$，$q_n \to 1$，且 $p_n^n \to a$，$q_n^n \to a$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于 $(p,q)$-微积分定义 $(p,q)$-Bernstein 算子的二元扩展？
• RQ2 新二元 $(p,q)$-Bernstein 算子的统一逼近性质是什么？
• RQ3 算子的收敛速度是多少，它如何依赖于函数的光滑性？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，算子的渐近行为如何，能否推导出 Voronovskaja 型公式？
• RQ5 参数 $p_n$ 和 $q_n$ 如何影响收敛速度和极限行为？

主要发现

• 在 $p_n \to 1$，$q_n \to 1$，且 $p_n^n \to a$，$q_n^n \to a$ 的条件下，二元 $(p,q)$-Bernstein 算子在 $[0,1]^2$ 上一致收敛于函数 $f$。
• 收敛速度为 $O(\omega(f;\delta_n))$，其中 $\delta_n = \sqrt{\frac{1}{[n]_{p_n,q_n}}}$，$\omega$ 为连续模。
• 算子满足 Voronovskaja 型渐近公式：$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right) = \frac{a(x - x^2)}{2} f_{xx}^{\prime\prime}(x,y) + \frac{a(y - y^2)}{2} f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)$。
• 第二矩项乘以 $[n]_{p_n,q_n}^2$ 的极限收敛于有限值：$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{1,n} = 3a$，$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{2,n} = -6a$，且 $\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{3,n} = 3a$。
• 包含 $\varepsilon(s,t)$ 的余项由于 Cauchy-Schwarz 不等式以及 $\varepsilon(s,t) \to 0$ 当 $(s,t) \to (x,y)$ 时，在极限下趋于零。
• 本研究修正了作者自身工作中先前的引理（Lemma 2.3），并承认 Acar 等人关于 $(p,q)$-Bernstein 算子矩的前期成果。