[논문 리뷰] On the Bit Complexity of Sum-of-Squares Proofs

Prasad Raghavendra, Benjamin Weitz|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 16.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 9인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 Sum-of-Squares (SoS) 증명의 비트 복잡도를 해결하며, 저차수 SoS 증거가 다항수로 유계된 계수를 가지는 데 필요한 조건을 규명한다. 동시에, 부울 제약 조건이 존재하더라도 높은 차수에 이르기 전까지 이중 지수적 계수를 요구할 수 있음을 보여주는 반례를 제시한다. 이 작업은 일반적인 최적화 문제에 대한 긍정적 보장을 제공할 뿐 아니라, 효율적 SoS 증명의 일반 가능성에 대한 부정적 결과도 제시한다.

ABSTRACT

It has often been claimed in recent papers that one can find a degree d Sum-of-Squares proof if one exists via the Ellipsoid algorithm. In [O17], Ryan O'Donnell notes this widely quoted claim is not necessarily true. He presents an example of a polynomial system with bounded coeffcients that admits low-degree proofs of non-negativity, but these proofs necessarily involve numbers with an exponential number of bits, causing the Ellipsoid algorithm to take exponential time. In this paper we obtain both positive and negative results on the bit complexity of SoS proofs. First, we propose a suffcient condition on a polynomial system that implies a bound on the coefficients in an SoS proof. We demonstrate that this sufficient condition is applicable for common use-cases of the SoS algorithm, such as Max-CSP, Balanced Separator, Max- Clique, Max-Bisection, and Unit-Vector constraints. On the negative side, O'Donnell asked whether every polynomial system containing Boolean constraints admits proofs of polynomial bit complexity. We answer this question in the negative, giving a counterexample system and non-negative polynomial which has degree two SoS proofs, but no SoS proof with small coefficients until degree Omega(sqrt(n))

연구 동기 및 목표

• 선형계획법을 통한 소프트웨어 기반의 Semidefinite Programming(SDP)로도 degree-d SoS 증명을 효율적으로 찾을 수 있다는 널리 인용되지만 잘못된 주장에 대응하기 위해.
• 부울 제약 조건을 포함한 다항식 시스템이 항상 다항 비트 복잡도를 가지는 SoS 증거를 갖는지 조사하기 위해.
• 일반적인 최적화 문제에서 SoS 증거의 계수가 유계지 않는 조건을 특정하기 위해.
• 부울 제약 조건이 존재하는 시스템에서도 높은 차수에 이르기 전까지 이중 지수적 계수를 요구할 수 있음을 보여주는 반례를 구성하기 위해.

제안 방법

• 해결 공간의 스펙트럴 풍부성, 강건성, 완전성에 기반한 충분조건을 제안하여 SoS 계수의 유계성을 보장한다.
• 해결 공간의 모멘트 행렬이 큰 스펙트럴 간격을 가지면 그 해결 공간에서 0이 되는 저차수 다항식은 저차수 SoS 유도를 가짐을 보장한다.
• 대칭성과 순열에 대한 평균화를 통해 일반 다항식을 대칭 다항식으로 줄이고, 제약 조건으로부터 0 다항식을 귀납적으로 도출한다.
• Max-CSP, Balanced Separator, Max-Clique, Max-Bisection, Unit-Vector 제약 조건과 같은 시스템에서 해결 공간이 충분조건을 만족함을 증명한다.
• 2n개의 변수와 제약 조건 x_i^2 = x_i, ∑x_i = n을 가진 반례 시스템을 구성하여, 차수 2의 SoS 증명이 n에 대해 이중 지수적 계수를 요구하며, Ω(√n) 차수 이하에서는 작은 계수의 증명이 존재하지 않음을 보인다.
• 전치가 대칭군을 생성한다는 사실을 이용하여, 이상이 그뢰브너 기저가 아니더라도 해결 공간에서 0이 되는 다항식은 항상 저차수 SoS 유도를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 부울 제약 조건을 포함한 다항식 시스템이 다항 비트 복잡도를 가지는 SoS 증거를 갖는가?
• RQ2 다항식 시스템의 어떤 구조적 성질이 SoS 증거의 계수가 유계지 않음을 보장하는가?
• RQ3 계수가 이중 지수적으로 크다면, 엘립소이드 알고리즘이 degree-d SoS 증명을 효율적으로 찾을 수 있는가?
• RQ4 저차수 SoS 증명이 반드시 이중 지수적 크기의 계수를 포함하는 자연스러운 최적화 문제는 존재하는가?
• RQ5 해결 공간의 스펙트럴 성질이 효율적 SoS 증거를 보장할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 해결 공간의 스펙트럴 풍부성, 강건성, 완전성이라는 충분조건은 저차수 SoS 증거의 계수가 다항적으로 유계지 않음을 보장한다.
• 이 충분조건은 Max-CSP, Balanced Separator, Max-Clique, Max-Bisection, Unit-Vector 제약 조건과 같은 일반 문제에 적용된다.
• 반례로, 차수 2의 음이 아닌 다항식이 Ω(√n) 차수 이하에서는 작은 계수의 SoS 증명이 존재하지 않으며, 계수는 (1/(2ε))^(2^n)까지 클 수 있음을 보였다. 여기서 ε = 1/(2n)이다.
• 반례는 2n개의 변수와 제약 조건 x_i^2 = x_i, ∑x_i = n을 포함한 시스템을 사용하여, 부울 제약 조건이 존재하더라도 비트 복잡도가 이중 지수적일 수 있음을 보였다.
• Max-Bisection 제약 조건 시스템은 모든 d ≤ n에 대해 d-완전함을 증명하여, 이상이 그뢰브너 기저가 아니더라도 저차수 SoS 도출이 가능함을 보였다.
• 그뢰브너 기저의 계산이 불가능한 경우에도 이 프레임워크가 작동함을 보였으며, Max-Bisection의 경우 그뢰브너 기저의 크기가 지수적임을 보여주었다.