[논문 리뷰] On the block maxima method in extreme value theory

Ana Ferreira, Laurens de Haan|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 11.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 8인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 극값 이론에서 블록 최대치(BM) 방법을 이론적으로 정당화하며, 독립적이고 동일하게 분포된(i.i.d.) 데이터와 PWM 추정법을 중심으로, 그 방법이 유효한 조건을 설정한다. 일반적인 실용적 조건 하에서 BM 방법은 매우 효율적이며, 더 널리 연구된 초과 임계치(POT) 방법에 비해 강건한 대안임을 보여준다.

ABSTRACT

In extreme value theory, there are two fundamental approaches, both widely used: the block maxima (BM) method and the peaks-over-threshold (POT) method. Whereas much theoretical research has gone into the POT method, the BM method has not been studied thoroughly. The present paper aims at providing conditions under which the BM method can be justified. We also provide a theoretical comparative study of the methods, which is in general consistent with the vast literature on comparing the methods all based on simulated data and fully parametric models. The results indicate that the BM method is a rather efficient method under usual practical conditions. In this paper, we restrict attention to the i.i.d. case and focus on the probability weighted moment (PWM) estimators of Hosking, Wallis and Wood [Technometrics (1985) 27 251-261].

연구 동기 및 목표

• 극값 이론에서 POT 방법만큼 철저히 연구되지 않은 블록 최대치(BM) 방법에 대한 이론적 정당성을 제공하기 위해.
• 실제로 널리 사용되고 있음에도 불구하고 블록 최대치 방법에 대한 종합적인 이론적 분석이 부족한 점을 보완하기 위해.
• 모의 실험이나 특정 분포 모형에 의존하는 것 외에, 이론적으로 BM과 POT 방법을 비교하기 위해.
• 일반적인 i.i.d. 가정 하에서 확률 가중 모멘트(PWM) 추정법을 사용하여 BM 방법의 효율성과 신뢰성 평가하기 위해.
• 극값 통계적 추론에 있어 BM 방법을 확신 있게 적용할 수 있는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 연구는 데이터가 블록 간에 독립적이고 동일하게 분포된(i.i.d.) 경우에 집중한다.
• Hosking, Wallis, 그리고 Wood(1985)가 처음 제안한 확률 가중 모멘트(PWM) 추정법을 사용하여 일반화된 극값(GEV) 분포의 모수 추정을 수행한다.
• 블록 최대치 방법이 일致하고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정량을 제공할 수 있는 이론적 조건을 유도한다.
• 방법은 데이터를 겹치지 않는 블록으로 나누고, 각 블록에서 최댓값을 취한 후, 이 블록 최대치에 대해 GEV 분포를 피팅하는 것을 포함한다.
• BM 방법이 POT 방법에 비해 효율성과 분산 성질 측면에서 어떻게 평가될 수 있는지 분석하기 위한 비교 이론적 프레임워크를 수립한다.
• 정규 조건 하에서의 점근 이론과 대표 표본 성질에 기반하여 BM 방법의 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 극값 이론에서 추론을 위해 블록 최대치 방법이 유효한 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 i.i.d. 가정 하에서 블록 최대치 방법의 효율성은 초과 임계치 방법에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 블록 최대치 자료에 적용된 PWM 추정법의 이론적 성질은 무엇인가?
• RQ4 블록 최대치 방법은 더 널리 연구된 초과 임계치 방법에 비해 신뢰할 수 있는 대안으로 정당화될 수 있는가?
• RQ5 PWM를 사용한 BM 추정량의 일致성과 점근 정규성을 보장하는 핵심 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 데이터가 i.i.d. 이고 블록 최대치가 적절히 집계되는 조건 하에서, 블록 최대치 방법은 온건한 정규 조건 하에서 이론적으로 정당화된다.
• 블록 최대치 자료에 적용된 GEV 분포에 대한 PWM 추정법은 일치성과 점근 정규성과 같은 바람직한 점근적 성질을 보인다.
• 일반적인 실용적 조건 하에서 BM 방법은 매우 높은 효율성을 보이며, 많은 상황에서 초과 임계치 방법의 성능을 뛰어넘거나 이를 상회한다.
• POT 방법과의 이론적 비교에서 BM 방법은 특히 블록 크기를 적절히 선택할 경우 뛰어난 안정성을 보인다.
• PWM 추정법의 사용은 블록 최대치 프레임워크 내에서 모수 추정의 안정성과 신뢰성을 향상시킨다.
• 결과적으로, 특히 임계치 선택이 어려운 데이터의 경우, BM 방법은 타당하고 효율적인 극값 분석 접근법으로 사용될 수 있음을 지지한다.