[论文解读] On the Bott-Chern and Aeppli cohomology

Daniele Angella|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入了施韦策定性性质——由楔积与基本类上的积分诱导的 Bott-Chern 上同调中的非退化配对——并证明该性质刻画了紧复流形上的 $δ\overline{\partial}$-引理。本文建立了 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调维数的定量界限，以 Hodge 数表示，表明这些上同调之间的差异当且仅当 $δ\overline{\partial}$-引理成立时消失。

ABSTRACT

This survey summarizes the results discussed in a talk at "Bielefeld Geometry & Topology Days" held at Bielefeld University in July 2015. We are interested in quantitative and qualitative properties of Bott-Chern cohomology. We announce new results obtained in [D. Angella, N. Tardini, Quantitative and qualitative cohomological properties for non-Kähler manifolds, arXiv:1507.07108] jointly with Nicoletta Tardini. In particular, we prove an upper bound of the dimensions of Bott-Chern cohomology in terms of Hodge numbers. We also introduce a notion, called Schweitzer qualitative property, which encodes the existence of a non-degenerate pairing in Bott-Chern cohomology, like the Poincaré duality for the de Rham cohomology. We show that this property characterizes the $\partial\overline\partial$-Lemma.

研究动机与目标

• 理解紧复流形的 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调所编码的几何与拓扑信息。
• 以 Hodge 数表示 Bott-Chern 上同调维数的定量界限。
• 引入并分析一种新的定性性质——施韦策性质——该性质捕捉了 Bott-Chern 上同调中非退化配对的存在性。
• 通过上同调维数的定量差异与定性对偶性质共同刻画 $δ\overline{\partial}$-引理。
• 探索 Bott-Chern 上同调的代数结构及其与非凯勒几何中形式性与 Massey 乘积的关系。

提出的方法

• 通过度数 $k$ 的 Hodge 数之和在度数 $k$ 与 $k+1$ 的总和中导出 Bott-Chern 上同调维数的上界，表达式为 $\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_A(X) \leq (n+1)\left(\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X) + \sum_{p+q=k+1}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X)\right)$。
• 利用施韦策建立的 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调之间的对偶性，将 $δ\overline{\partial}$-引理的刻画仅用 Bott-Chern 上同调重新表述。
• 将施韦策定性性质定义为 Bott-Chern 上同调上的非退化配对 $H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X) \times H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X) \to \mathbb{C}$，$([\alpha],[\beta]) \mapsto \int_X \alpha \wedge \beta$。
• 应用 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调维数差的定量界限，表明该差值消失当且仅当 $δ\overline{\partial}$-引理成立。
• 依赖施韦策建立的 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调之间的对偶性，将配对性质与 $δ\overline{\partial}$-引理联系起来。
• 利用紧复流形上微分形式双复形的结构，将上同调不变量与形式性及对偶性等几何性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧复流形上，Bott-Chern 上同调维数与 Hodge 数之间存在何种定量关系？
• RQ2 是否可以通过 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调维数差值的消失条件来刻画 $δ\overline{\partial}$-引理？
• RQ3 Bott-Chern 上同调中非退化配对的存在是否蕴含 $δ\overline{\partial}$-引理？
• RQ4 施韦策定性性质如何与复几何中的庞加莱对偶性与塞尔对偶性相关联？
• RQ5 Bott-Chern 上同调的代数结构能否通过代表元或调和形式具体实现？这对形式性意味着什么？

主要发现

• 建立了 Aeppli 上同调在度数 $k$ 的维数的上界，以 Hodge 数表示：$\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_A(X) \leq (n+1)\left(\sum_{p+q=k}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X) + \sum_{p+q=k+1}\dim H^{p,q}_{\overline{\partial}}(X)\right)$。
• 差值 $\sum_{p+q=k}\left(\dim H^{p,q}_{BC}(X) - \dim H^{p,q}_A(X)\right)$ 由 Hodge 数从上下两方面有界，且当且仅当 $δ\overline{\partial}$-引理成立时消失。
• 施韦策定性性质——即 Bott-Chern 上同调上配对 $([\alpha],[\beta]) \mapsto \int_X \alpha \wedge \beta$ 的非退化性——刻画了 $δ\overline{\partial}$-引理。
• 当且仅当 $δ\overline{\partial}$-引理成立时，条件 $\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left|\sum_{p+q=k}\left(\dim H^{p,q}_{BC}(X) - \dim H^{p,q}_A(X)\right)\right| = 0$ 成立。
• 施韦策定性性质蕴含 $δ\overline{\partial}$-引理，该结论通过结合定量界限与 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调之间的对偶性得以证明。
• 通过施韦策性质刻画 $δ\overline{\partial}$-引理提供了新的代数判据，类似于庞加莱对偶性，但适用于 Bott-Chern 上同调。