[논문 리뷰] On the broken ray transform

Joonas Ilmavirta|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 26.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반사 경계의 일부에서 반사하는 광선을 고려하는 X선 변환의 일반화인 파손된 광선 변환의 단사성을 조사한다. 구의 직접 계산, 반사 원리, 경계 타일러 급수 재구성, 페스토프 에너지 항등식의 네 가지 방법을 사용하여 리만 다각형에 볼록한 장애물이 있는 다양한 기하학적 구조에서 단사성을 입증하며, 역 문제 및 스펙트럼 기하학에의 응용을 포함해 주기적인 파손된 광선으로의 결과 확장을 다룬다.

ABSTRACT

This PhD thesis studies the broken ray transform, a generalization of the geodesic X-ray transform where geodesics are replaced with broken rays that reflect on a part of the boundary. The fundamental question is whether this transform is injective. We employ four different methods to approach this question, and each of them gives interesting results. Direct calculation can be used in a ball, where the geometry is particularly simple. If the reflecting part of the boundary is (piecewise) flat, a reflection argument can be used to reduce the problem to the usual X-ray transform. In some geometries one can use broken rays near the boundary to determine the values of the unknown function at the reflector, and even construct its Taylor series. One can also use energy estimates -- which in this context are known as Pestov identities -- to show injectivity in the presence of one convex reflecting obstacle. Many of these methods work also on Riemannian manifolds. We also discuss the periodic broken ray transform, where the integrals are taken over periodic broken rays. The broken ray transform and its periodic version have applications in other inverse problems, including Calderón's problem and problems related to spectral geometry. A more detailed abstract can be found in the PDF file. This version only contains the introductory parts of the thesis. The full thesis also contains five articles.

연구 동기 및 목표

• 파손된 광선 변환이 단사성임을 입증하는 것, 즉 함수가 반사 광선을 따라 적분된 값들로부터 유일하게 재구성될 수 있는지 여부를 판단하는 것.
• 반사 경계로 인한 부분 데이터 상황을 고려한 X선 단층 촬영 이론의 확장.
• 파손된 광선 변환과 다른 역 문제, 예를 들어 캘러존 문제 및 경계 강성 문제 사이의 관계 탐색.
• 주기적인 파손된 광선 변환의 연구 및 스펙트럼 기하학에서의 역할 탐구.
• 기하학적으로 복잡한 영역에서 파손된 광선 데이터로부터 함수를 재구성하기 위한 종합적 프레임워크 제공.

제안 방법

• 대칭성을 활용하여 파손된 광선 변환의 단사성을 증명하기 위해 구 기하학에서의 직접 계산.
• 반사 경계가 (조각별로) 평면일 경우 반사 원리를 사용하여 파손된 광선 문제를 고전적 X선 변환으로 환원.
• 반사체 근처에서 파손된 광선을 이용해 함수 값 재구성 및 타일러 급수 전개 구성.
• 페스토프 항등식(에너지 추정)을 활용하여 단일 볼록 반사 장애물 존재 시 리만 다각형에서의 단사성 입증.
• 유사한 방법들을 리만 다각형에 일반화하여 유클리드 공간 외부에서도 적용 가능함을 보임.
• 폐쇄된 파손된 광선 궤적을 따라 적분하는 주기적인 파손된 광선 변환 분석 및 스펙트럼 기하학과 역 문제에의 응용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 경계 부분이 존재하는 영역에서 파손된 광선 변환이 단사성을 갖는가?
• RQ2 평면 반사 경계와 같은 기하 조건 하에서 파손된 광선 변환이 고전적 X선 변환으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 반사 경계에서 함수의 값이 파손된 광선 변환으로부터 어느 정도 재구성될 수 있는가?
• RQ4 주기적인 파손된 광선 변환이 단사성을 갖는가? 그리고 스펙트럼 기하학에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 파손된 광선 변환이 경계 거리 함수의 선형화로 나타나며, 경계 강성 또는 캘러존 문제와 같은 기하학적 역 문제와 어떻게 연결되는가?

주요 결과

• 구의 단위 공에서 구의 대칭성을 활용한 직접 계산을 통해 파손된 광선 변환이 단사성임을 입증.
• 반사 경계가 (조각별로) 평면일 경우 파손된 광선 변환이 고전적 X선 변환으로 환원되며, 알려진 결과에 의해 단사성이 보장됨.
• 반사체 근처에서는 파손된 광선을 이용해 알려지지 않은 함수의 타일러 급수를 재구성할 수 있어 局부 재구성 가능.
• 페스토프 에너지 항등식을 통해 단일 볼록 반사 장애물이 존재하는 리만 다각형에서 파손된 광선 변환의 단사성을 입증.
• 일반적으로 주기적인 파손된 광선 변환은 단사성이 아님; 예를 들어 매끄럽고 컴act하게 지지된 함수에 대해 유클리드 단위 원판에서 반례 존재.
• 파손된 광선 변환은 반사가 있는 경계 거리 함수의 선형화로 나타나며, 리만 기하학 및 편미분방정식의 역 문제와 연결됨.