[논문 리뷰] On the C-property and $w^*$-representations of risk measures

Niushan Gao, Foivos Xanthos|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 10.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 16인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $L_{ ilde{ Phi}}( mu)$에서 $\lim_{t\to\infty}\frac{\nPhi(t)}{t}=\infty$를 만족하는 proper convex increasing functionals에 대해 $w^{*}$-representation 정리를 증명하며, $L_1(\mathbb{P})$를 제외하고 C-성질의 변종을 도입한다. 표준 $\sigma(L_{\nPhi}(\nmu), L_{\nPhi}(\nmu)_{n}^{\sim})$ 위상은 $L_{\nPhi}(\nmu)$가 반사적이지 않은 한 C-성질을 만족하지 못함을 보이며, 이는 Delbaen의 Fatou 성질 결과를 직접적으로 확장할 수 없음을 의미한다. 핵심 기여는 노름 유계 점근 수렴을 통한 $w^{*}$-하향연속성 특성화이다.

ABSTRACT

We identify a large class of Orlicz spaces $X$ for which the topology $σ(X,X_n^\sim)$ fails the C-property introduced in [7]. We also establish a variant of the C-property and use it to prove a $w^*$-representation theorem for proper convex increasing functionals on dual Banach lattices that satisfy a suitable version of Delbaen's Fatou property. Our results apply, in particular, to risk measures on all Orlicz spaces over $[0,1]$ which is not $L_1[0,1]$.

연구 동기 및 목표

• Orlicz 공간에서 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 위상에 대한 C-성질의 타당성에 대한 모호함을 해결하기 위해.
• Delbaen의 $w^{*}$-표현 정리가 $L_\infty(\mathbb{P})$를 초월해 다른 Orlicz 공간으로 확장 가능한지에 대한 열린 질문을 다루기 위해.
• 특정 조건 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$를 만족하는 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 위에서 proper convex increasing functionals에 대한 $w^{*}$-표현 정리를 수립하기 위해.
• 이 설정에서 $w^{*}$-하향연속성에 충분한 조건으로서 노름 유계성의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 특정 조건 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$를 만족하는 Orlicz 공간 $L_{\Phi}(\mu)$의 $w^{*}$-위상에 맞는 C-성질의 변종을 도입하기 위해.
• $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 위상이 $L_{\Phi}(\mu)$가 반사적이지 않은 한 표준 C-성질을 만족하지 못함을 증명하기 위해.
• 새로운 C-성질 변종을 활용하여 적절한 Fatou 유형 조건을 만족하는 proper convex increasing functionals에 대한 $w^{*}$-표현 정리를 수립하기 위해.
• $L_{\Phi}(\mu)$와 그 순서 연속 쌍대공간 $L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}$ 간의 쌍대성 관계를 활용하며, $H_{\Psi}(\mu)$가 $w^{*}$-위상에 대한 전두공간으로서 식별하기 위해.
• $L_{\Phi}(\mathbb{P})$에서 $\Phi \neq \text{id}$인 경우, $L_1(\mathbb{P})$를 제외하고 위험 측도에 표현을 적용하기 위해.
• 무한 순서 수렴과 노름 유계 점근 수렴을 활용하여 $w^{*}$-하향연속성을 특성화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Orlicz 공간 $L_{\Phi}(\mu)$에서 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$를 만족할 때, 표준 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 위상은 C-성질을 만족하는가?
• RQ2 Delbaen의 $L_\infty(\mathbb{P})$에 대한 $w^{*}$-표현 정리는 $L_1(\mathbb{P})$를 제외한 다른 Orlicz 공간 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$로 확장 가능한가?
• RQ3 Orlicz 공간 위의 위험 측도 맥락에서, 노름 유계성이 $w^{*}$-하향연속성에 충분한가?
• RQ4 공액 함수 $\Psi$에 대한 $\Delta_2$-조건이 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$에 대한 C-성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특정 조건 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$를 만족할 때, $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 위에서 proper convex increasing functionals에 대한 $w^{*}$-표현이 가능한가?

주요 결과

• $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 위상은 $L_{\Phi}(\mu)$가 반사적이지 않은 한 C-성질을 만족하지 못하며, 이는 $L_\infty(\mathbb{P})$가 유한 차원이 아닐 경우 $\sigma(L_\infty(\mathbb{P}), L_\infty(\mathbb{P})_{n}^{\sim}})$ 위상도 C-성질을 만족하지 못함을 의미한다.
• 특정 조건 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$를 만족하는 Orlicz 공간 $L_{\Phi}(\mu)$에 대해서는 $w^{*}$-위상 하에서 C-성질의 변종이 성립한다.
• $w^{*}$-표현 정리가 수립된다: $\phi(f) = \sup_{g \in H_{\Psi}(\mu)} (\langle f, g \rangle - \phi^*(g))$ 는 적절한 Fatou 성질을 만족하는 proper convex increasing functionals $\phi$에 대해 성립한다.
• 이 맥락에서 Fatou 성질은 수열이 노름 유계이면서 거의 어디서나 수렴할 경우 $w^{*}$-하향연속성과 동치이다.
• $L_1(\mathbb{P})$는 이론적으로 쌍대공간이 아니므로 제외되며, 조건 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$는 $L_{\Phi}(\mathbb{P}) \neq L_1(\mathbb{P})$임을 보장한다.
• Fatou 성질에서의 노름 유계성은 $w^{*}$-하향연속성에 충분하며, 이는 Delbaen의 원래 Fatou 성질에서의 유계성 조건이 이 설정에서 노름 유계성으로 해석될 수 있음을 시사한다.