[논문 리뷰] On the characterization of trace class representations and Schwartz operators

Gerrit van Dijk, Karl‐Hermann Neeb외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 리 군의 트레이스 클래스 유니터리 표현에 대한 종합적인 특성화를 제공하며, 이러한 표현이 매끄러운 벡터 공간의 핵심성과 분포 공간 위의 가우시안 측도 실현 가능성과 동치임을 입증한다. 주요 결과는 트레이스 클래스 표현이 어떤 m ∈ ℕ에 대해 f ∈ C^m_c(G)이면 항상 π(f)가 트레이스 클래스가 되는 것과 동치이며, 이는 분포 특성의 유한 차수임을 의미한다.

ABSTRACT

In this note we collect several characterizations of unitary representations $(π, \mathcal{H})$ of a finite dimensional Lie group $G$ which are trace class, i.e., for each compactly supported smooth function $f$ on $G$, the operator $π(f)$ is trace class. In particular we derive the new result that, for some $m \in \mathbb{N}$, all operators $π(f)$, $f \in C^m_c(G)$, are trace class. As a consequence the corresponding distribution character $θ_π$ is of finite order. We further show $π$ is trace class if and only if every operator $A$, which is smoothing in the sense that $A\mathcal{H}\subseteq \mathcal{H}^\infty$, is trace class and that this in turn is equivalent to the Fréchet space $\mathcal{H}^\infty$ being nuclear, which in turn is equivalent to the realizability of the Gaussian measure of $\mathcal{H}$ on the space $\mathcal{H}^{-\infty}$ of distribution vectors. Finally we show that, even for infinite dimensional Fréchet-Lie groups, $A$ and $A^*$ are smoothing if and only if $A$ is a Schwartz operator, i.e., all products of $A$ with operators from the derived representation are bounded.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 리 군의 트레이스 클래스 유니터리 표현에 흩어져 있는 다양한 특성화를 통합하고 명확화하며, 이는 이전에 증명 없이 제시된 바가 많다.
• 트레이스 클래스 표현과 매끄러운 벡터 공간 H^∞의 핵심성 간의 동치성을 확립한다.
• 트레이스 클래스 조건과 분포 벡터 공간 H^{-∞} 위의 가우시안 측도 실현 가능성 간의 연결을 제시한다.
• 프레셰–리 군의 맥락에서 스무딩 연산자와 스웨츠 연산자 간의 관계를 명확히 한다.
• 트레이스 클래스 표현의 경우, 모든 f ∈ C^m_c(G)에 대해 π(f)가 트레이스 클래스가 되는 m ∈ ℕ이 존재하며, 이는 분포 특성이 유한 차수임을 의미한다.

제안 방법

• 리 대수 𝔤의 유도 표현 dπ를 사용하여 매끄러운 벡터 H^∞를 정의하고, 그들의 프레셰 위상 구조를 연구한다.
• 넬슨-라플라스 연산자 Δ = ∑X_j^2를 적용하여, (1 - dπ(Δ))^(-k)의 트레이스 클래스 성질을 통해 트레이스 클래스 표현을 특성화한다. 여기서 k > 0이다.
• 다음 네 가지 조건 간의 동치성을 입증한다: (1) π가 트레이스 클래스, (2) 모든 스무딩 연산자가 트레이스 클래스, (3) H^∞가 핵심, (4) H^{-∞} 위의 가우시안 측도 실현 가능.
• 프레셰–리 군에 대해, 연산자 S가 스웨츠 연산자임은 S와 S*가 모두 스무딩임과 동치이며, 또한 (g,h) ↦ π(g)Sπ(h)의 함수가 매끄럽다는 것과 동치임을 증명한다.
• 이론적 결과를 하이젠베르크 군의 슈뢰딩거 표현에 적용하여, [KKW15]에서 알려진 결과들이 일반 이론의 특수한 경우임을 보인다.
• 스톤 정리와 C*-대수 이론, 샤텐 아이디얼 이론을 활용하여 트레이스 클래스 및 컴act 연산자를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 리 군의 유니터리 표현이 트레이스 클래스가 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 리 군 표현의 맥락에서 스무딩 연산자, 스웨츠 연산자, 트레이스 클래스 연산자 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 매끄러운 벡터 공간 H^∞의 핵심성과 표현의 트레이스 클래스 성질 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 언제 유니터리 표현의 분포 특성 θ_π가 유한 차수인가?
• RQ5 H^{-∞} 위의 가우시안 측도 실현 가능성은 트레이스 클래스 표현의 특성화로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한 차원 리 군 G에 대해, 유니터리 표현 π가 트레이스 클래스일 필요 및 충분 조건은 어떤 m ∈ ℕ이 존재하여 모든 f ∈ C^m_c(G)에 대해 π(f)가 트레이스 클래스가 되는 것이다. 이는 분포 특성 θ_π가 유한 차수임을 의미한다.
• 유니터리 표현 π가 트레이스 클래스일 필요 및 충분 조건은 모든 스무딩 연산자 A (Aℋ ⊆ ℋ^∞)가 트레이스 클래스라는 것이다.
• 매끄러운 벡터 공간 ℋ^∞가 핵심일 필요 및 충분 조건은 π가 트레이스 클래스라는 것이다. 이는 함수해석학적 성질과 표현 이론 간의 깊은 연결을 제시한다.
• 힐베르트 공간 ℋ 위의 가우시안 측도가 분포 벡터 공간 ℋ^{-∞} 위에서 실현 가능할 필요 및 충분 조건은 π가 트레이스 클래스라는 것이다.
• 모든 프레셰–리 군 G에 대해, 연산자 S ∈ B(ℋ)가 스웨츠 연산자일 필요 및 충분 조건은 S와 S*가 모두 스무딩이며, 또한 (g,h) ↦ π(g)Sπ(h)의 함수가 매끄러운 것과 동치이다.
• 하이젠베르크 군의 슈뢰딩거 표현은 트레이스 클래스이며, 매끄러운 벡터 공간은 스웨츠 공간 𝒮(Y)과 일치한다. 또한 [KKW15]에서 스웨츠 연산자로 정의된 모든 연산자는 본 논문의 정의와 일치한다.