[논문 리뷰] On the classifying space of the family of finite and of virtually cyclic subgroups for CAT(0)-groups

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|2009. 02. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완전한 CAT(0) 공간 위에 올바르고 등장하는 방식으로 작용하는 CAT(0) 군에 대해 유한군 및 거의 순환 부분군의 분류 공간에 대한 차원 상한을 설정한다. 기하군론과 CAT(0) 공간의 성질을 이용하여, 공간의 위상차원이 d일 때(여기서 d=1 또는 d≥3, d≠2), 올바른 작용을 위한 분류 공간의 차원은 최대 d이며, 거의 순환 부분군을 위한 분류 공간의 차원은 최대 d+1임을 증명한다.

ABSTRACT

Let G be a discrete group which acts properly and isometrically on a complete CAT(0)-space X. Consider an integer d with d=1 or d greater or equal to 3 such that the topological dimension of X is bounded by d. We show the existence of a G-CW-model E_fin(G) for the classifying space for proper G-actions with dim(E_fin(G)) less or equal to d. Provided that the action is also cocompact, we prove the existence of a G-CW-model E_vcyc(G) for the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups such that dim(E_vcyc(G)) is less or equal to d+1.

연구 동기 및 목표

• 이산군이 완전한 CAT(0) 공간 위에 올바르고 등장하는 방식으로 작용할 때, 올바른 G-작용을 위한 분류 공간(표기: $\underline{E}G$)의 차원 상한을 설정하는 것.
• 코컴 pact 또는 반단순성 조건을 가정할 때, 이 결과를 거의 순환 부분군의 가족을 위한 분류 공간($\underline{\underline{E}}G$)으로 확장하는 것.
• 특히 공간의 위상차원이 2가 아닐 때, CAT(0) 기하학의 맥락에서 $\underline{E}G$와 $\underline{\underline{E}}G$ 사이의 차원 간격을 해결하는 것.
• 적절한 조건 하에서 CAT(0) 군에 대해 추측된 부등식 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ 가 성립하는지 확인하는 것.
• 비정규적으로 곡률이 0 이하인 리만다만에서의 기하적 설정과 코컴 pact하게 작용하는 거의 순환자유군의 경우에 대해 정확한 차원 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• CAT(0) 공간 $X$의 기하학을 이용하여, 올바른 G-작용을 위한 분류 공간에 대한 $G$-CW 모델 $\underline{E}G$ 가 존재함을 이용한다.
• 정리 2.11 (ii)를 적용하여, $X$의 위상차원이 $\leq d$ 이면 $\underline{E}G$ 가 $d$ 차원 모델을 가짐을 도출한다.
• 무한 순환 부분군 $C \subseteq G$ 의 정규화군과 웨일군을 분석하며, 생성자 $g$ 의 최소집합 $\operatorname{Min}(g)$ 에 대한 작용을 사용한다.
• 하위공간 $Y(g) \subseteq X$ 에서 $W_G C$ 작용을 구성하며, 이 하위공간은 낮은 위상차원을 가지며 CAT(0) 구조를 유지하고, 웨일군에 대한 귀납법을 가능하게 한다.
• 특히 코로나리 5.4를 포함한 [11]의 결과를 적용하여 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G)$ 와 $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G)$ 를 연결한다.
• 비음성 섹션 곡률을 가진 완전한 리만다만은 CAT(0) 공간임을 이용하며, 코컴 pact $G$-작용을 가진 다만에 이를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 CAT(0) 공간 $X$ 위에 올바르고 등장하는 방식으로 작용하는 이산군 $G$ 에 대해, $\underline{E}G$ 의 차원이 $X$ 의 위상차원에 따라 상한을 가질 수 있는가?
• RQ2 위상차원 $\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ 일 때, 거의 순환 부분군의 가족을 위한 분류 공간 $\underline{\underline{E}}G$ 가 차원 최대 $d+1$ 인 모델을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 위상차원 $\operatorname{top-dim}(X) \neq 2$ 인 경우, CAT(0) 군에 대해 부등식 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ 가 성립하는가?
• RQ4 $G$ 가 비음성 곡률을 가진 단순연결된 완전한 $n$-차원 리만다만 위에 코컴 pact하고 등장하는 방식으로 작용할 때, $\underline{E}G$ 와 $\underline{\underline{E}}G$ 의 정확한 차원 상한은 무엇인가?
• RQ5 하이퍼볼릭 또는 유클리드 군과 같은 기하군론적 설정에서, $\underline{E}G$ 와 $\underline{\underline{E}}G$ 사이의 차원 간격을 완전히 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 완전한 CAT(0) 공간 $X$ 위에 올바르고 등장하는 방식으로 작용하는 이산군 $G$ 에 대해 $\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ 이고 $d=1$ 또는 $d \geq 3$ 이면, $\underline{E}G$ 는 최대 차원 $d$ 의 $G$-CW 모델을 가진다.
• 만약 작용이 반단순 등장변환이라면(예: 코컴 pact), 거의 순환 부분군의 가족을 위한 $G$-CW 모델 $\underline{\underline{E}}G$ 가 최대 차원 $d+1$ 으로 존재한다.
• 위상차원 $\operatorname{top-dim}(X) = \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G) \neq 2$ 이면, 부등식 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ 가 성립한다.
• 코컴 pact하고 등장하는 방식으로 단순연결된 완전한 $n$-차원 리만다만 위에 작용하는 거의 순환자유군 $G$ 에 대해 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ 이고 $n-1 \leq \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) \leq n+1$ 이다.
• 만약 $G$ 가 닫힌 하이퍼볼릭 $n$-다만의 기본군이라면 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n$ 이다.
• $G$ 가 $n \geq 2$ 에 대해 거의 $\mathbb{Z}^n$ 이라면 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ 이고 $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n+1$ 이며, 이는 차원 간격의 두 극단이 모두 실현됨을 보여준다.