[논문 리뷰] On the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups

Wolfgang Lueck, Michael Weiermann|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 가상적으로 순환하는 부분군의 가족을 위한 분류공간의 최소 호모토피 차원 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$를 다양한 군들, 즉 가상적으로 다항 $\mathbb{Z}$, 단어 초타원형, 그리고 가чёт히 가상적으로 순환적인 군들에 대해 계산한다. 조건 $M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}}$ 하에서 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$을 확립하고, 가상적으로 순환하는 부분군과 유한 부분군의 가족을 위한 분류공간의 차원 차이가 $-1$, $0$, 또는 $1$이 되는 명시적인 예를 제시하여, 많은 경우에서 이러한 값들 외에는 가능한 차이가 없음을 보여준다.

ABSTRACT

We study the minimal dimension of the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups of a discrete group. We give a complete answer for instance if the group is virtually poly-Z, word-hyperbolic or countable locally virtually cyclic. We give examples of groups for which the difference of the minimal dimensions of the classifying spaces of virtually cyclic and of finite subgroups is -1, 0 and 1, and show in many cases that no other values can occur.

연구 동기 및 목표

• 이산군 $G$의 가상적으로 순환 부분군의 가족을 위한 분류공간의 최소 호모토피 차원 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$를 계산하는 것.
• $\underline{\underline{E}}G$의 기하학적 및 호모토피적 성질을 이해하고 이를 군론적 불변량과 연관짓는 것.
• $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$와 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 사이의 가능한 차이를 규명하고, 많은 경우에서 $-1$, $0$, $1$만이 발생할 수 있음을 보이는 것.
• 가상적으로 다항 $\mathbb{Z}$ 군에 대해 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$를 완전히 계산하고, 제어된 차원 차이를 갖는 명시적인 예를 구성하는 것.

제안 방법

• $\underline{E}G$, $\underline{\underline{E}}G$, 그리고 최대 가상적으로 순환 부분군의 정규화군과 와이어 군의 모델을 연결하는 $G$-푸시아웃 다이어그램을 구성하는 것.
• 모든 무한한 가상적으로 순환 부분군이 유일한 최대 부분군에 포함됨을 보장하는 조건 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$을 도입하여 $\underline{\underline{E}}G$의 구조적 분해를 가능하게 하는 것.
• 정규화군이 부분군 자체와 일치하는 조건 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$을 사용하여 구성의 단순화와 차원 경계 유도를 하는 것.
• 아티야-히르체브루흐 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 등변 homology 군을 분석하고, $H^V_*(\underline{E}V \to \{\bullet\})$를 $K$-이론과 $L$-이론의 닐-항목과 연관짓는 것.
• 유도와 제한 함자를 사용하여 $N_GV$-등변 homology를 $V$-등변 homology와 연결하고, 닐-항목 위에 $W_GV$-작용을 확립하는 것.
• 군의 방향성 있는 합집합의 경우를 분석하여 $\underline{\underline{E}}G_i$의 모델들로부터 $\underline{\underline{E}}G$의 모델을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산군 $G$에 대해 최소 가능한 호모토피 차원 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$는 무엇인가요?
• RQ2 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$는 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$와 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 경계를 확립할 수 있나요?
• RQ3 어떤 군들에 대해 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$가 유한한가요? 특히 가상적으로 다항 $\mathbb{Z}$ 또는 단어 초타원형 군과 같은 핵심 군류에서 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ4 차이 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$의 가능한 값은 무엇이며, 이 차이는 임의로 클 수 있나요?
• RQ5 $K$-이론과 $L$-이론의 조립 사상은 닐-항목을 통해 $\underline{\underline{E}}G$의 기하학과 어떻게 연관되나요?

주요 결과

• 모든 군 $G$가 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ 조건을 만족할 경우, $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$ 이 성립한다.
• 군 $G$가 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ 조건을 만족할 경우, $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) \geq 2$ 이면 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 이고, 그렇지 않으면 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq 2$ 이다.
• 닫힌 초타원형 3차원 다양체의 기본군 $\pi$에 대해 $\operatorname{vcd}(\pi) = \dim(N) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{E}\pi) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{\underline{E}}\pi)$ 이며, 이는 콘놀리-페르만-하트글라스의 추측과 모순된다.
• 3차원 히젠베르크 군 $\operatorname{Hei}$에 대해, $\operatorname{hdim}^{\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z}}(\underline{\underline{E}}(\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z})) = 4 + k$ 를 만족하는 자동형사 $f_k$ 가 존재하며, $k = -1, 0, 1$ 이다.
• 차원 차이 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 는 $-1$, $0$, 또는 $1$ 이며, 많은 경우, 특히 가상적으로 다항 $\mathbb{Z}$ 군에서는 다른 값은 발생하지 않는다.
• 군 $G = \operatorname{Hei} \rtimes_f \mathbb{Z}$ 에 대해, 모든 $f$ 에 대해 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) = 4$ 이지만, $f$ 에 따라 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = 3, 4, 5$ 가 되므로, $\underline{\underline{E}}G$ 의 차원이 작용의 동역학에 따라 달라짐을 보여준다.