[논문 리뷰] On the Cobordism Class of the Hilbert Scheme of a Surface

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche외 1명|ArXiv.org|1999. 04. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 175

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영인 표면 위의 점들에 대한 하이버트 스킴의 코버디즘 클래스의 생성함수는 표면 자체의 코버디즘 클래스에만 의존한다는 것을 증명한다. 토르 작용과 본 도구의 잔여 공식을 사용하여, 이러한 하이버트 스킴 위의 타우토로지컬 번들에 대한 체른 수와 헬로모르피크 오일러 특성을 계산하며, $ n \leq 7 $에 대해 모든 체른 수가 $ c_1(S)^2 $와 $ c_2(S) $에 대한 계수가 비음이 아닌 다항식임을 증명한다.

ABSTRACT

Let S be a smooth projective surfaces and S^[n] the Hilbert scheme of zero-dimensional subschemes of S of length n. We proof that the class of S^[n] in the complex cobordism ring depends only on the class of the surface itself. Moreover, we compute the cohomology and holomorphic Euler characterisitcs of certain tautological sheaves on S^[n] and prove results on the general structure of certain integrals over polynomials in Chern classes of tautological sheaves.

연구 동기 및 목표

• 생성함수 $ H(S) = \sum_{n=0}^\infty [S^{[n]}] z^n $ 가 복소 코버디즘 환에서의 의존성이 오직 표면의 코버디즘 클래스 $[S] \in \Omega_2$ 에만 있다는 것을 증명하는 것.
• $ n \leq 7 $에 대해 $ S^{[n]} $ 의 체른 수를 계산하여, 이들이 $ c_1(S)^2 $와 $ c_2(S) $에 대한 계수가 비음이 아닌 다항식임을 보이는 것.
• 스펙트럴 시퀀스와 쿠엔트 공식을 사용하여 $ S^{[n]} $ 위의 타우토로지컬 층 $ F^{[n]} $ 의 헬로모르피크 오일러 특성을 결정하는 것.
• 다중성 성질과 고정점 계산을 이용하여 $ \chi_{-y} $-성질 공식에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.
• $ n \leq 6 $에 대해 $ K3 $ 표면에 대한 타원형 성질 추측을 $ S^{[n]} $ 에 대한 명시적 체른 수 계산을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• $ H(S) $ 가 $ \Omega[[z]] $ 에서 가역 원소임을 이용하고, 성질의 다중성 구조를 통해 $[S]$ 에 대한 의존성을 증명하는 것.
• $ \mathbb{C}\mathbb{P}^2 $ 와 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 에서 유한한 고정점이 있는 토르 작용을 분석하여, 본 도구의 잔여 공식을 적용해 $ S^{[n]} $ 의 체른 수를 계산하는 것.
• $ n \leq 7 $ 에 대해 명시적 계산을 수행하기 위해 맵러 프로그램을 사용하며, 모든 체른 수가 $ c_1(S)^2 $ 와 $ c_2(S) $ 에 대한 다항식이라는 사실을 활용하는 것.
• 하이버트-차우 사상과 유니버설 패밀리를 포함하는 카르테시안 다이어그램을 사용하여 $ \chi(F^{[n]}) $ 를 계산하고, 스펙트럴 시퀀스와 쿠엔트 공식을 적용하는 것.
• $ R^i f_* \mathcal{O}_{S^{[n]}} $ 의 고차원 직접영상의 소멸성과 $ Z_n \cong S^{(n-1)} \times S $ 의 동형을 이용하여 $ F^{[n]} $ 의 코homology 를 $ S^{[n-1]} \times S $ 의 코homology 와 연결하는 것.
• 성질의 다중성 성질을 이용하여, $ \mathbb{P}^2 $ 와 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 에서 $ \mathbb{C}^* $-작용이 명시적인 베티 수 공식을 제공하므로, $ \chi_{-y} $-성질 공식을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이버트 스킴 $ S^{[n]} $ 의 코버디즘 클래스는 표면 $ S $ 의 코버디즘 클래스에만 의존하는가?
• RQ2 $ n \leq 7 $ 에 대해 $ S^{[n]} $ 의 체른 수를 통일적으로 계산할 수 있으며, 이들이 $ c_1(S)^2 $ 와 $ c_2(S) $ 에 대한 계수가 비음이 아닌 다항식으로 표현되는가?
• RQ3 타우토로지컬 층 $ F^{[n]} $ 의 헬로모르피크 오일러 특성 $ \chi(F^{[n]}) $ 는 무엇이며, $ \chi(F) $ 와 $ S $ 의 베티 수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 생성함수 $ H(S) $ 의 $ \chi_{-y} $-성질은 $ \chi_{-y^m}(S) $ 를 포함하는 지수 공식을 만족하는가? 이는 성질의 다중성에 의해 증명될 수 있는가?
• RQ5 $ n \leq 6 $ 에 대해 $ K3 $ 표면에 대한 타원형 성질 추측을 $ S^{[n]} $ 에 대한 명시적 체른 수 계산을 통해 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 생성함수 $ H(S) $ 는 오직 코버디즘 클래스 $[S]$ 에만 의존하므로, $[S] = a_1[S_1] + a_2[S_2]$ 를 만족하는 유리수 $ a_1, a_2 $ 에 대해 $ H(S) = H(S_1)^{a_1} H(S_2)^{a_2} $ 가 성립한다.
• 만일 $ S $ 가 $ K3 $ 표면이고 $ n \leq 4 $ 라면, $ S^{[n]} $ 의 체른 수는 다음과 같다: $ (4) = 324 $, $ (2^2) = 828 $, $ (6) = 3200 $, $ (4,2) = 14720 $, $ (2^3) = 36800 $, $ (8) = 25650 $, $ (6,2) = 182340 $, $ (4^2) = 332730 $, $ (4,2^2) = 813240 $, $ (2^4) = 1992240 $.
• 타우토로지컬 번들 $ F^{[n]} $ 의 헬로모르피크 오일러 특성은 $ \chi(F^{[n]}) = \chi(F) \binom{\chi(\mathcal{O}_S) + n - 2}{n - 1} $ 를 만족한다.
• $ H(S) $ 의 $ \chi_{-y} $-성질은 지수 공식 $ \chi_{-y}(H(S)) = \exp\left( \sum_{m=1}^\infty \frac{\chi_{-y^m}(S)}{1 - (yz)^m} \frac{z^m}{m} \right) $ 로 주어지며, 이는 $ \mathbb{P}^2 $ 와 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 에서의 고정점 계산을 통해 검증되었다.
• $ \phi_{N,k} $ 는 $ \phi_{N,k}(H(S)) = \frac{1}{(1 - t)^{\phi_{N,k}(S)}} $ 를 만족하며, 이는 $ \omega_S $ 가 $ N $-승 근을 갖는 경우에 유효하다.
• $ n \leq 7 $ 에 대해 $ S^{[n]} $ 의 모든 체른 수는 $ c_1(S)^2 $ 와 $ c_2(S) $ 에 대한 계수가 비음이 아닌 다항식이며, G. Thompson 이 관찰한 성질로, G. Höhn 은 이를 이용해 $ n \leq 6 $ 에 대해 $ K3 $ 표면에 대한 타원형 성질 추측을 검증하였다.