[논문 리뷰] On the coherence of Expected Shortfall

Carlo Acerbi, Dirk Tasche|ArXiv.org|2001. 04. 17.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 9인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 손실 분포가 불연속일 경우에도 적절히 형식화된 경우, 최악의 100α%의 사례에서의 평균 손실로 정의된 기대손실(Expected Shortfall, ES)이 일관된 위험 측도(coherent risk measure)임을 입증한다. 이 ES 정의는 안정성 있고 계산 가능하며, 분포의 불연속성으로 인해 일관성이 상실될 수 있는 다른 정의들인 꼬리 조건부 기대(Tail Conditional Expectation, TCE) 및 최악의 조건부 기대(Worst Conditional Expectation, WCE)보다 열등하지 않다.

ABSTRACT

Expected Shortfall (ES) in several variants has been proposed as remedy for the defi-ciencies of Value-at-Risk (VaR) which in general is not a coherent risk measure. In fact, most definitions of ES lead to the same results when applied to continuous loss distributions. Differences may appear when the underlying loss distributions have discontinuities. In this case even the coherence property of ES can get lost unless one took care of the details in its definition. We compare some of the definitions of Expected Shortfall, pointing out that there is one which is robust in the sense of yielding a coherent risk measure regardless of the underlying distributions. Moreover, this Expected Shortfall can be estimated effectively even in cases where the usual estimators for VaR fail. Key words: Expected Shortfall; Risk measure; worst conditional expectation; tail con-ditional expectation; value-at-risk (VaR); conditional value-at-risk (CVaR); tail mean; co-herence; quantile; sub-additivity.

연구 동기 및 목표

• 기대손실(ES) 및 관련 위험 측도인 꼬리 조건부 기대(TCE)와 최악의 조건부 기대(WCE)의 일관성에 관해 문헌에서 야기된 혼동을 해결하기 위해.
• 특히 불연속적 손실 분포 하에서 ES, TCE, WCE, 조건부 VaR(CVaR) 간의 수학적 관계를 명확히 하기 위해.
• 하위 α-분위수의 적분 기반 정의인 특정한 ES 정의가, 기저 분포에 관계없이 안정적이고 일관된 위험 측도를 제공함을 입증하기 위해.
• 기존 VaR 추정기법이 실패하는 경우, 특히 이산 또는 혼합 분포에서 표본의 최악의 100α% 손실 평균을 통해 효과적인 추정이 가능함을 보여주기 위해.
• 같은 균일 분포를 가진 모든 확률 공간에서의 WCE 최댓값으로서의 ES 일반 표현을 제공함으로써, 분포에 대해 강건한(robust) 위험 측도를 만들기 위해.

제안 방법

• 하위 α-분위수의 적분을 통한 기대손실(ES) 정의: $\mathrm{ES}_\alpha(X) = \int_0^\alpha q_u(X) \, du / \alpha$, 이는 일관성과 연속성을 보장한다.
• Sklar의 정리를 사용하여 주어진 균일 분포와 의존성 구조를 가진 랜덤 변수를 구성함으로써, 다양한 확률 공간 간의 비교를 가능하게 한다.
• 꼬리 강력한 대수법칙을 적용하여, 표본에서 최악의 100α% 손실의 평균이 ES로 수렴함을 보여주며, 이는 실증적 추정의 타당성을 뒷받침한다.
• 적절한 정의 하에서 두 수식이 동일함을 보여줌으로써 ES와 CVaR 간의 동치성을 입증: $\mathrm{ES}_\alpha(X) = \mathbb{E}[X \mid X \leq x_{(\alpha)}]$.
• 지표 함수 표현을 통해 ES의 하위가환성(subadditivity)을 증명: $\mathrm{ES}_\alpha(X+Y) \leq \mathrm{ES}_\alpha(X) + \mathrm{ES}_\alpha(Y)$, 분위수 기반 지표를 통한 차이의 경계 설정으로.
• 같은 분포를 가진 모든 랜덤 변수에 대해 WCE의 최댓값으로서의 ES 일반 표현을 유도함으로써, ES가 WCE의 강건한 형태임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 손실 분포가 불연속적일 경우 기대손실(ES)은 여전히 일관된 위험 측도인가?
• RQ2 TCE, WCE, CVaR와 같은 다양한 ES 정의 방식 간의 관계는 어떻게 되며, 어느 것이 가장 강건한가?
• RQ3 모든 분포 유형에서 일관성, 계산 가능성, 강건성을 보장하는 단일 통합 정의를 확립할 수 있는가?
• RQ4 ES의 표현이 기저 확률 공간에 영향을 받지 않도록 하여 강건성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 특히 이산 또는 혼합 분포에서 전통적 VaR 추정기법이 실패하는 경우, ES는 신뢰할 만하게 추정될 수 있는가?

주요 결과

• 레벨 α 이하의 분위수 적분 기반 정의는 손실 분포가 불연속적일 경우에도 일관성을 보장한다.
• 기대손실(ES)은 조건부 VaR(CVaR)와 동치이며, 적절한 수식 정의 하에서는 수학적으로 동일하다.
• 꼬리 조건부 기대(TCE)는 일반적으로 일관성이 없지만, 제안된 ES 정의는 모든 분포 유형에서 일관성 있고 강건하다.
• 지표 함수 기반 표현을 통해 ES의 하위가환성을 증명함으로써, 다각화 효과가 올바르게 반영됨을 보였다.
• 같은 균일 분포를 가진 모든 확률 공간에서의 WCE 최댓값으로서의 ES 표현을 통해, ES는 분포에 대해 강건한 위험 측도임을 입증하였다.
• 표본에서 최악의 100α% 손실의 평균 기반 ES 추정기법이 거의 확실히 진짜 ES로 수렴함을 보여주며, VaR 추정기법이 실패하는 경우에도 신뢰할 수 있는 실증적 추정이 가능함을 입증하였다.