[논문 리뷰] On the cohomology of a smash product of Hopf algebras

Mitja Mastnak|ArXiv.org|2002. 10. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 코코ercive 호프 대수의 스매시 곱에 대한 슈리들 코homology에 대해 다섯 항의 정확한 수열을 수립하며, 그룹 반직접곱에 대한 타라하의 수열을 일반화한다. 측정 코homology를 도입하고, 스매시 곱 $ H = N \rtimes T $ 의 코homology가 $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T \to \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ 를 포함하는 정확한 수열에 놓임을 보이며, 그룹 코homology 결과를 호프 대수로 확장한다.

ABSTRACT

A five term sequence for the low degree cohomology of a smash product of (cocommutative) Hopf algebras is obtained, generalizing that of Tahara for a semi-direct product of groups.

연구 동기 및 목표

• 코코ercive 호프 대수의 스매시 곱에 대한 타라하의 다섯 항 정확 수열을 그룹 반직접곱에 대해 일반화한다.
• 슈리들 코homology를 통해 그룹 코homology 결과를 호프 대수 코hom로에 일반화한다.
• 스매시 곱 $ N \rtimes T $ 의 두 번째 코homology에 대한 정확한 코hom로적 기술을 측정 코hom로와 안정 코hom로를 통해 수립한다.
• 작용이 자명할 경우 $ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) $ 의 구조를 명확히 하여 $ T $, $ N $, 그리고 측정 사상에서 온 성분들로의 분해를 보인다.

제안 방법

• 코코ercive 호프 대수 $ N $ 과 $ T $ 와 $ A $ 가 $ H $-모듈러 대수인 스매시 곱 $ H = N \rtimes T $ 에 대해 슈리들 코homology에서 다섯 항의 정확 수열을 구성한다.
• 측정 코hom로 $ \mathrm{H}^i_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) $ 는 $ N $ 에 대한 $ A $ 를 값으로 갖는 $ T $-측정을 캡처하는 유일 측정 호프 대수 $ M(N,A) $ 의 코homology로 정의한다.
• 스탠다드 슈리들 코チェ인 복합체를 $ H $ 에 대해 $ A $ 를 계수로 사용하고, 콘볼루션과 모듈러 작용을 통해 미분을 정의한다.
• 측정 코cycle을 $ H $-코cycle으로 올리는 것으로, $ j: \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ 가 잘 정의됨을 증명한다.
• $ \mathrm{res}: \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T $ 의 제약 사상이 $ \mathrm{H}^2(N,A) $ 의 $ T $-불변 부분공간으로부터 전사임을 보이고, $ d \circ \mathrm{res} $ 가 영이 됨을 보인다.
• 특수한 경우, 예를 들어 작용이 자명할 경우의 동형을 수립하여 $ \mathrm{H}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(T,A) \oplus \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \oplus \mathrm{H}^2(N,A) $ 의 분해를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타라하의 그룹 코hom로 수열을 코코ercive 호프 대수의 스매시 곱에 대해 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 측정 코hom로 $ \mathrm{H}^i_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) $ 는 스매시 곱의 코hom로를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $ \mathrm{res}: \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T $ 의 제약 사상은 $ T $ 의 측정 코hom로와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 작용 $ T $ 가 $ N $ 에 대해 자명할 경우 $ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) $ 의 구조는 어떠한가?
• RQ5 특성 0 에서 $ U\mathfrak{g} \rtimes kG $ 의 코hom로는 이 수열을 사용해 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 스매시 곱 $ H = N \rtimes T $ 의 슈리들 코hom로에 대해 다섯 항의 정확 수열을 수립하며, 그룹 반직접곱에 대한 타라하의 수열을 일반화한다.
• 수열은 $ 0 \to \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \xrightarrow{\mathrm{res}} \mathrm{H}^2(N,A)^T \xrightarrow{d} \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \xrightarrow{j} \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ 로 주어지며, 각 항에서 정확성을 보인다.
• 작용이 자명할 경우 $ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(T,A) \oplus \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \oplus \mathrm{H}^2(N,A) $ 라는 분해가 성립하며, 두 번째 코hom로를 분해한다.
• $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \simeq \mathrm{P}(T,N,A) $ 의 동형이 성립하며, 여기서 $ \mathrm{P}(T,N,A) $ 는 $ T \times N $ 에서 $ A $ 로의 이측정 사상의 군이다.
• $ k $ 가 특성 0 이고 대수적으로 닫혀 있으며 $ |G|^{-1} \in k $ 인 경우 $ H = U\mathfrak{g} \rtimes kG $ 에 대해 코hom로는 $ \mathrm{H}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(G, \mathcal{U}(A)) \oplus \mathrm{H}^2(\mathfrak{g}, A^+)^G $ 를 만족하며, 와이트헤드의 보조정리에 의해 리 대수 부분이 영이 됨을 보여준다.
• $ \mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n(k) $ 과 $ G \simeq C_n $ 인 예시에서 $ \mathrm{H}^2(H,k) \simeq k^\times / (k^\times)^n $ 이며, 이는 수열이 명시적 계산에 실용적임을 보여준다.