[논문 리뷰] On the Combinatorial Power of the Weisfeiler-Lehman Algorithm

Martin Fürer|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 04.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Weisfeiler-Lehman 알고리즘, 특히 WL[2]의 조합적 능력을 그래프 불변량을 구별하는 데에 대해 조사한다. WL[2]가 길이 6 이하의 사이클 수와 4-클리크를 구별할 수 있음을 보여주지만, 8-사이클과 4-클리크를 구별하지 못함으로써 WL[2]가 강력한 구별 능력을 지녔음에도 불구하고 이러한 불변량과 비교 가능하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

The classical Weisfeiler-Lehman method WL[2] uses edge colors to produce a powerful graph invariant. It is at least as powerful in its ability to distinguish non-isomorphic graphs as the most prominent algebraic graph invariants. It determines not only the spectrum of a graph, and the angles between standard basis vectors and the eigenspaces, but even the angles between projections of standard basis vectors into the eigenspaces. Here, we investigate the combinatorial power of WL[2]. For sufficiently large k, WL[k] determines all combinatorial properties of a graph. Many traditionally used combinatorial invariants are determined by WL[k] for small k. We focus on two fundamental invariants, the num- ber of cycles Cp of length p, and the number of cliques Kp of size p. We show that WL[2] determines the number of cycles of lengths up to 6, but not those of length 8. Also, WL[2] does not determine the number of 4-cliques.

연구 동기 및 목표

• Weisfeiler-Lehman 알고리즘, 특히 WL[2]의 조합적 능력을 기본적인 그래프 불변량을 탐지하는 데에 분석하기.
• WL[2]가 다양한 길이의 사이클 수와 특정 크기의 클리크 수를 유일하게 식별할 수 있는지 판단하기.
• WL[2]가 동일한 간선 색상 빈도를 공유하는 비동형 그래프를 구별하는 데에 미치는 한계를 조사하기.
• WL[2]와 사이클 수 및 클리크 수와 같은 전통적인 조합적 불변량 간의 관계를 명확히 하기.
• 명백한 반례를 통해 WL[2]와 4-클리크 수, 8-사이클 수와 같은 특정 불변량 간의 상호비가능성( incomparability )을 규명하기.

제안 방법

• 비동형의 강한 정규 그래프 G와 G̃를 생성하기 위해 CFI 구축법을 사용하며, 이들은 간선 색상 빈도가 동일하여 WL[2]에 의해 구별되지 않는다.
• 사이클 수를 세기 위해 브루트포스 알고리즘을 사용하여 각 정점에서 시작해 길이 k의 모든 사이클을 나열하며, 정점 전이성( vertex transitivity )을 활용해 총 사이클 수를 계산한다.
• WL[2] 색상 부여 과정은 색상이 2단계 이웃의 색상 패턴 다중집합에 기반해 개선되는, 간선 색상이 부여된 완전 방향 그래프에 적용된다.
• WL[k]의 경우 색상 부여를 k개의 정점 튜플로 확장하며, 각 위치에 새로운 정점을 대체하는 방식으로 색상 다중집합을 생성하기 위해 필터링 연산(sift operations)을 사용한다.
• G와 G̃ 간의 다양한 길이에서의 사이클 수와 클리크 수를 비교하며, 계산적 열거를 통해 차이를 검증한다.
• 이론적 논의는 사이클 수 1에서 16까지의 결과를 정리한 Cycle Count 프로그램의 경험적 데이터로 뒷받침된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 WL[2]는 그래프 내 길이 8의 사이클 수를 결정할 수 있는가?
• RQ2 WL[2]는 그래프 내 4-클리크 수를 탐지하는가?
• RQ3 WL[2]는 4-클리크 수 불변량과 비교 가능한가, 아니면 상호비가능한가?
• RQ4 WL[2]가 비동형 그래프 간의 사이클 수를 구별하지 못하는 사이클 길이는 어느 정도인가?
• RQ5 WL[2]와 작은 서브그래프, 예를 들어 사이클과 클리크의 수를 세는 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• WL[2]는 길이 6 이하의 사이클 수를 결정할 수 있으며, CFI로 생성된 그래프 G와 G̃에서 k ≤ 6일 때 사이클 수가 동일하기 때문이다.
• WL[2]는 8-사이클 수를 결정하지 못한다. G에서는 11,952개의 사이클이 있었고, G̃에서는 11,688개였기 때문이다.
• WL[2]는 4-클리크 수를 결정하지 못한다. G에는 8개의 클리크가 있었고 G̃에는 전혀 없었지만, 간선 색상 분포는 동일했다.
• 4-클리크 수는 WL[2]와 상호비가능하다. WL[2]가 비동형 그래프를 구별할 수 있는 그래프가 존재하지만, 4-클리크 수는 이를 구별하지 못하는 경우가 있기 때문이다.
• k ≤ 7일 경우 사이클 수 계산은 행렬 곱셈 기법 덕분에 O(n^ω) 시간에 가능하지만, k ≥ 8일 경우 문제는 #W-완전해지며 복잡도의 전환을 나타낸다.
• 정사면체를 기본 그래프로 사용한 CFI 구축법은 WL[2]에서 구별되지 않지만, 사이클 수와 클리크 수가 길이 8부터 다름을 보이는 비동형 그래프 쌍을 생성한다.