[논문 리뷰] On the Complexity of the Minimum Latency Scheduling Problem on the Euclidean Plane

Henry Lin, Frans Schalekamp|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 13.

Mobile Ad Hoc Networks참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경로 손실 지수 α ≥ 3 인 유클리드 평면에서 임의의 전력 수준을 사용할 수 있을 때 물리적 SINR 모델 하에서 최소 지연 스케줄링(MLS) 문제의 NP-난이도를 증명한다. 저자들은 3-색칠 문제에서의 축소를 통해 이를 입증하며, 원래 그래프가 3-색칠 가능할 때이고 그때에만 3라운드 가능 스케줄이 존재하는 무선 네트워크 인스턴스를 구성한다. 이때 간섭은 전력 제어와 기하학적 배치를 통해 철저히 제어된다.

ABSTRACT

We show NP-hardness of the minimum latency scheduling (MLS) problem under the physical model of wireless networking. In this model a transmission is received successfully if the Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), is above a given threshold. In the minimum latency scheduling problem, the goal is to assign a time slot and power level to each transmission, so that all the messages are received successfully, and the number of distinct times slots is minimized. Despite its seeming simplicity and several previous hardness results for various settings of the minimum latency scheduling problem, it has remained an open question whether or not the minimum latency scheduling problem is NP-hard, when the nodes are placed in the Euclidean plane and arbitrary power levels can be chosen for the transmissions. We resolve this open question for all path loss exponent values $α\geq 3$.

연구 동기 및 목표

• 노드가 유클리드 평면에 위치하고 임의의 전송 전력 수준이 허용될 때 최소 지연 스케줄링(MLS) 문제의 NP-난이도 여부에 대한 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전 결과들이 이러한 제약 조건을 필요로 했음에도 불구하고, 전송 전력의 상한 또는 하한을 가정하지 않더라도 문제의 NP-난이도가 유지됨을 보여주기 위해.
• NP-난이도 결과에 기반해 MLS 문제의 4/3 이하의 상수 요인으로의 근사화가 어려움을 입증하기 위해.
• 기하학적 배치와 전력 수준 할당을 사용하여 그래프의 3-색칠 문제에서 MLS 문제로의 구성적 축소를 제공하기 위해.

제안 방법

• 평면 격자 그래프의 3-색칠 문제(비결정성 문제)를 유클리드 평면에서 물리적 SINR 모델 하의 MLS 문제로의 축소.
• 노드 가젯과 에지 가젯을 갖는 네트워크 인스턴스를 구성하며, 노드 색칠에 기반해 3라운드 전송 스케줄을 수립한다.
• 대부분의 전송에 전력 수준 1을 사용하고, 에지 가젯과 노드 가젯 간의 '경계' 전송에는 전력 수준 2를 사용하여 간섭을 제어한다.
• 거리 n² 이내의 전송만을 고려하여 주요 수신기 노드의 간섭을 제한하며, 먼 거리의 전송은 간섭에 미치는 기여가 무시 가능함을 보인다(o(1/n)).
• 기하학적 및 전력 기반 제어를 통해 SINR이 임계값을 초과함을 보여, 모든 의도된 수신이 성공함을 증명한다.
• 원래 그래프의 타당한 3-색칠이 존재할 경우 구성된 MLS 인스턴스에서 3라운드 타당 스케줄이 존재하고, 그 반대의 경우도 마찬가지로 성립함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드가 유클리드 평면에 위치하고 임의의 전송 전력 수준이 허용될 때 최소 지연 스케줄링 문제의 NP-난이도 여부는 무엇인가?
• RQ2 전송 전력의 상한 또는 하한을 가정하지 않더라도 MLS의 NP-난이도를 입증할 수 있는가?
• RQ3 경로 손실 지수 α가 2에 근접하는 경우에도 이 난이도 결과가 유지되는가?
• RQ4 MLS 문제는 4/3 이하의 상수 요인으로 근사화하는 것이 어려운가?
• RQ5 이 축소를 편재성 지표나 기타 기하학적 설정으로 일반화하여 난이도를 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 전력 수준이 허용될 때 경로 손실 지수 α ≥ 3 인 유클리드 평면에서 최소 지연 스케줄링 문제의 NP-난이도가 입증된다.
• NP-난이도 결과에 기반해 MLS 문제의 4/3 이하의 상수 요인으로의 근사화가 불가능함을 입증한다.
• 구성된 무선 네트워크 인스턴스에서는 원래 그래프가 3-색칠 가능할 때이고 그때에만 3라운드 스케줄이 존재한다.
• 거리 n² 초과의 전송 간섭은 각 수신기에서 o(1/n)의 기여를 하며 무시 가능하다.
• SINR 임계값을 충족시키기 위해 정교한 전력 할당이 필요하며, 이는 내부 전송에 전력 1, 경계 전송에 전력 2를 사용하는 방식이다.
• 중앙집중형 및 분산형 알고리즘 모두에 대해 결과가 성립한다. 이는 구성이 알고리즘 모델과 독립적이기 때문이다.