[논문 리뷰] On the convergence of double Fourier series of functions of bounded partial generalized variation

Ушанги Гогинава, Artur Sahakian|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 16.

Approximation Theory and Sequence Spaces인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 유계 부분 Λ-변동을 갖는 함수의 이중 푸리에 급수 수렴성을 위한 시퀀스 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 에 대한 필수 및 필요조건을 설정한다. 만약 $\lambda_n = n\gamma_n$ 이고 $\gamma_n$ 가 감소하며 $\sum \gamma_n/n = \infty$ 를 만족한다면, 원점에서 발산하는 이중 푸리에 급수를 갖는 연속 함수들이 존재함을 보여, 부분 Λ-변동만으로는 수렴을 보장하지 못함을 시사한다.

ABSTRACT

The convergence of double Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation is investigated. The sufficient and necessary conditions on the sequence $Λ=\{λ_n\}$ are found for the convergence of Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation.

연구 동기 및 목표

• 함수의 유계 부분 $\Lambda$-변동을 갖는 이중 푸리에 급수의 수렴성을 보장하는 시퀀스 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 에 대한 정확한 조건을 규명하는 것.
• 특히 조화 변동의 경우($\lambda_n = n$)에서 유계 부분 $\Lambda$-변동이 이중 푸리에 급수 수렴을 보장하는지 여부를 조사하는 것.
• $\sum \gamma_n/n = \infty$ 인 경우, 연속 함수들에 대해 이중 푸리에 급수의 발산을 보여주는 명시적 반례를 구성하는 것.
• $P\Lambda BV$ 클래스가 Dyachenko와 Waterman에 의해 도입된 다른 일반화된 유계 변동 클래스인 $\Lambda^*BV$ 와 어떻게 비교되는지 조사하는 것.
• 유계 부분 $\Lambda$-변동이 연속 함수에 대해서조차도 이중 푸리에 급수 수렴을 보장하지 못함을 보이고, 원점에서의 발산 결과를 증명함으로써 이것이 충분하지 않음을 시사하는 것.

제안 방법

• 함수의 부분 $\Lambda$-변동이 유한한 경우를 정의하여 $P\Lambda BV$ 클래스를 정의한다. 여기서 $\Lambda V(f) = \Lambda V_1(f) + \Lambda V_2(f) < \infty$ 이며, $\Lambda V_1$ 과 $\Lambda V_2$ 는 다른 변수를 고정했을 때 한 변수에 대한 변동을 측정한다.
• 감소하는 $\gamma_n$ 과 조건 $\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$ 를 만족하는 시퀀스 $\lambda_n = n\gamma_n$ 을 사용하여 푸리에 급수의 행동을 분석한다.
• 이중 정수 영역 $A_{i,j}$ 에서의 부호가 있는 사인 곱의 합으로서 연속 함수 $f_N(x,y)$ 를 구성한다. 여기서 진폭은 $t_j = \left(\sum_{i=1}^{m_j} \frac{1}{\lambda_j}\right)^{-1}$ 과 $m_j = [j^{1+\delta}]$ 이다.
• 레마 1(재배열 부등식)을 적용하여 변동 반노름 $\Lambda V_1(f_N)$ 과 $\Lambda V_2(f_N)$ 의 상한을 구하고, 이들이 1 이하로 균일하게 유계임을 보인다.
• 바나흐-스타이너하우스 정리를 적용하여 원점 $(0,0)$ 에서 이중 푸리에 급수의 제곱 부분합이 발산하는 연속 함수 $f \in P\Lambda BV$ 가 존재함을 유도한다.
• 적분 표현을 통해 $(0,0)$ 에서의 이중 푸리에 부분합을 추정하고, 이가 $\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$ 와 같이 증가함을 보이며, 조건 $\sum \gamma_j/j = \infty$ 에 따라 이 합이 무한히 커짐을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $P\Lambda BV$ 에 속하는 이중 푸리에 급수의 수렴성을 보장하는 시퀀스 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ 에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 연속 함수에 대해 유계 부분 $\Lambda$-변동은 이중 푸리에 급수 수렴을 보장하는가?
• RQ3 $\sum \gamma_n/n < \infty$ 조건을 약화시키거나 제거해도 수렴이 유지되는가? 특히 $\lambda_n = n\gamma_n$ 인 경우에 대해.
• RQ4 $P\Lambda BV$ 클래스는 Dyachenko와 Waterman에 의해 도입된 $\Lambda^*BV$ 클래스와 수렴 성질 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 사분면 극한의 존재는 이중 푸리에 급수 수렴을 보장하는가? 이는 $\Lambda^*BV$ 조건과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 만약 $\lambda_n = n\gamma_n$ 이고 $\gamma_n$ 이 감소하며 $\sum \gamma_n/n < \infty$ 이면, $P\Lambda BV \subset HBV$ 를 유도하여 이중 푸리에 급수 수렴이 보장된다.
• 만약 어떤 $\delta > 0$ 에 대해 $\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$ 이고 $\sum \gamma_n/n = \infty$ 이면, $P\Lambda BV \not\subset HBV$ 이므로 일반적으로 수렴이 성립하지 않는다.
• $\sum \gamma_n/n = \infty$ 조건 하에서, 원점 $(0,0)$ 에서 이중 푸리에 급수 부분합이 발산하는 연속 함수 $f \in P\Lambda BV$ 가 존재한다.
• 유니폼하게 유계인 $P\Lambda V$-노름을 갖는 $f_N$ 의 구성과 바나흐-스타이너하우스 정리를 통해 원점에서의 발산이 입증된다.
• $(0,0)$ 에서 부분합의 크기는 $\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$ 와 같이 추정되며, $N \to \infty$ 일 때 이 합이 무한히 커짐을 확인하여 발산이 확인된다.
• 결과적으로, 유계 부분 $\Lambda$-변동은 연속 함수에 대해서조차도 이중 푸리에 급수 수렴을 보장하지 못하며, $HV_{1,2}(f) < \infty$ 는 수렴을 보장하기 위한 필수 조건임을 보여준다.