[논문 리뷰] On the cost-subdifferentials of cost-convex functions

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|2007. 06. 08.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비용 함수에 대한 A0, A1, A2, A3W 조건 하에서 cost-凸 함수에 대해 비용 subdifferential과 일반 subdifferential의 등가성을 직접 기하적 추론을 사용하여 증명한다. 보다 구체적으로, 이러한 조건 하에서 c-subdifferential ∂cφ 는 c-凸 잠재함수의 경우 고전적 subdifferential ∂φ 와 일치하며, 이는 최적 운반 이론에서 접촉 집합의 연결성을 보장하고, Loeper의 호일더 연속성 이론을 구구적으로 완성한다.

ABSTRACT

We are interested in the cost-convex potentials in optimal mass transport theory, and we show by direct and geometric arguments the equivalence between cost-subdifferentials and ordinary subdifferentials of cost-convex functions, under the assumptions A0, A1, A2, and A3W on cost functions introduced by Ma, Trudinger, and Wang. The connectivity of contact sets of optimal transport maps follows as a direct corollary. Our approach is quite different from the previous result of Loeper which he obtained as the first step toward his Hoelder regularity theory of potential functions, and which was based upon approximation using the regularity theory of Ma, Trudinger, and Wang. The result in this paper improves his result, by relaxing certain geometrical assumptions on the domains and targets; it also completes his Hoelder regularity theory of potential functions on the round sphere, by making it self-contained.

연구 동기 및 목표

• c-凸 함수에 대해 cost-subdifferential과 일반 subdifferential의 등가성을 직접 기하적 증명으로 확립하는 것.
• 이전 연구에 비해 도메인과 타겟의 기하적 가정을 완화하는 것, 특히 Loeper의 근사 기반 접근법에 비해 보다 일반적인 조건을 제공하는 것.
• 최적 운반 잠재함수에 대한 Loeper의 호일더 연속성 이론을 이 기하적 접근을 통해 완성하고 자가 일관되게 닫는 것.
• 유클리드 공간을 초월하여 리만 다양체와 Ma-Trudinger-Wang 조건을 만족하는 기타 비용 함수에 대해 ∂cφ = ∂φ 의 등가성을 일반화하는 것.

제안 방법

• 비용-凸 함수와 그들의 지지 함수 M_y(x) = -c(x,y) + const 의 직접 기하 분석을 수행한다.
• c-지수 함수와 그 정의역을 활용하여 접촉 집합의 구조를 분석한다.
• 정규성과 수준집합의 볼록성을 보장하기 위해 엄밀한 DASM(dual almost minimizing selection) 개념을 적용한다.
• c-지수 함수의 볼록성과 정규성을 확보하기 위해 A3W 조건과 그 강화된 형태인 A3S 조건을 활용한다.
• 특히 c가 x=y에서 미분 가능하지 않은 경우와 같은 특이 케이스에 대해 근사 기법을 적용하여 비연속 비용 함수로 결과를 확장한다.
• 거리 함수의 연속성을 활용하여 조밀한 부분집합에서의 결과를 전체 정의역(예: 구 위에서)으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 함수 c 에 대해 어떤 조건이 성립할 경우 c-凸 함수 φ 에 대해 c-subdifferential ∂cφ 가 고전적 subdifferential ∂φ 와 일치하는가?
• RQ2 근사나 정규성 이론에 의존하지 않고 기하적 추론만으로 ∂cφ = ∂φ 의 등가성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 A3W 조건 하에서 비유클리드 도메인, 예를 들어 구 위에서도 등가성 ∂cφ = ∂φ 가 성립하는가?
• RQ4 최적 운반 사상에서 접촉 집합의 연결성은 ∂cφ = ∂φ 의 등가성에 직접적인 결과로 도출되는가?
• RQ5 이 기하적 접근을 통해 Loeper의 호일더 연속성 이론을 완성하고 자가 일관되게 닫을 수 있는가?

주요 결과

• 비용 함수 c 에 대해 A0, A1, A2, A3W 조건이 만족될 경우, 모든 c-凸 함수 φ 는 도메인 Ω ⊂ R^n (또는 다양체)에서 ∂cφ = ∂φ 를 만족한다.
• 결과는 Loeper의 원래 증명에서 사용된 근사 기법을 피한 직접 기하적 추론을 통해 증명되었으며, 이는 도메인과 타겟의 기하적 제약 조건을 완화한다.
• 최적 운반 사상에서 접촉 집합의 연결성은 ∂cφ = ∂φ 의 등가성에 직접적으로 기인한다.
• 구 S^n 에서 c(x,y) = ½d²(x,y) 인 경우, 연속성과 DASM 분석을 통해 ∂cφ = ∂φ 가 전역적으로 성립하며, 반대점에서도 성립한다.
• R^n×R^n∖{x=y} 에서 c(x,y) = -½log|x−y|² 인 경우, ∂cφ = ∂φ 가 전역적으로 성립하며, c-지수 함수의 정의역은 R^n∖{0} 이고, 결과는 근사 기법을 통해 확장된다.
• S^{n−1}×S^{n−1}∖{x=y} 에서 반사 안테나 비용 c(x,y) = -½log|x−y|² 는 A3S 를 만족하며, c-凸 φ 에 대해 ∂cφ = ∂φ 가 성립한다. 또한 c*-Exp_y 는 T_yS^{n−1} 를 S^{n−1}∖{y} 로 사상한다.