[논문 리뷰] On the definition and the properties of the principal eigenvalue of some nonlocal operators

Henri Berestycki, Jérôme Coville외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 74인용 수 124

한 줄 요약

이 논문은 비국소 연산자 $\mathcal{L}_\Omega + a$ 형태의 일반화된 주특성근의 여러 정의가 상등임을 확립한다. 여기서 $\mathcal{L}_\Omega[\varphi] = \int_\Omega K(x,y)\varphi(y)\,dy$ 이다. 스케일링 매개변수 $\sigma \to 0$일 때, 스케일링된 비국소 연산자의 주특성근이 라플라스 연산자를 포함하는 국소 타원형 연산자의 주특성근으로 수렴함을 증명한다. 이때 확산 계수는 커널 $J$의 두 번째 모멘트에 의해 결정된다. 이는 비국소 및 전통적인 확산 모델 간의 엄밀한 연결을 제공한다.

ABSTRACT

In this article we study some spectral properties of the linear operator $\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a$ defined on the space $C(\\bar\\Omega)$ by :$$ \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi:=\\int\\_{\\Omega}K(x,y)\\varphi(y)\\,dy+a(x)\\varphi(x)$$ where $\\Omega\\subset \\mathbb{R}^N$ is a domain, possibly unbounded, $a$ is a continuous bounded function and $K$ is a continuous, non negative kernel satisfying an integrability condition. We focus our analysis on the properties of the generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ defined by $$\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a):= \\sup\\{\\lambda \\in \\mathbb{R} \\,|\\, \\exists \\varphi \\in C(\\bar \\Omega), \\varphi\ extgreater{}0, \ extit{such that}\\, \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi +\\lambda\\varphi \\le 0 \\, \ ext{in}\\;\\Omega\\}. $$ We establish some new properties of this generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p$. Namely, we prove the equivalence of different definitions of the principal eigenvalue. We also study the behaviour of $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ with respect to some scaling of $K$. For kernels $K$ of the type, $K(x,y)=J(x-y)$ with $J$ a compactly supported probability density, we also establish some asymptotic properties of $\\lambda\\_{p} \\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega} -\\frac{1}{\\sigma^m}+a\ ight)$ where $\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}$ is defined by $\\displaystyle{\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}[\\varphi]:=\\frac{1}{\\sigma^{2+N}}\\int\\_{\\Omega}J\\left(\\frac{x-y}{\\sigma}\ ight)\\varphi(y)\\, dy}$. In particular, we prove that $$\\lim\\_{\\sigma\ o 0}\\lambda\\_p\\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,2,\\Omega}-\\frac{1}{\\sigma^{2}}+a\ ight)=\\lambda\\_1\\left(\\frac{D\\_2(J)}{2N}\\Delta +a\ ight),$$where $D\\_2(J):=\\int\\_{\\mathbb{R}^N}J(z)|z|^2\\,dz$ and $\\lambda\\_1$ denotes the Dirichlet principal eigenvalue of the elliptic operator. In addition, we obtain some convergence results for the corresponding eigenfunction $\\varphi\\_{p,\\sigma}$.

연구 동기 및 목표

• 비국소 연산자에 대한 일반화된 주특성근 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$를 정의하고 분석한다. 이는 유계 또는 비유계 영역에서도 가능하다.
• 다양한 형태로 정의된 주특성근의 모호함을 제거하기 위해, 여러 공식 간의 상등성을 증명한다.
• 커널 $K(x,y) = \sigma^{-N} J((x-y)/\sigma)$의 스케일링 하에서 $\lambda_p$의 점근적 행동을 연구한다. 특히 $\sigma \to 0$일 때의 행동을 다룬다.
• 스케일링된 연산자에 대응하는 고유함수 $\varphi_{p,\sigma}$가 국소 타원형 연산자의 첫 번째 고유함수로 수렴함을 확립한다.

제안 방법

• 주특성근 $\lambda_p$의 변분적 특성화를 통해 sup-inf 공식을 사용한다: $\lambda_p = \sup_{\varphi > 0} \inf_x \left( -\frac{\mathcal{L}_\Omega[\varphi](x) + a(x)\varphi(x)}{\varphi(x)} \right)$.
• Collatz-Wielandt 유형의 특성화를 적용하여, $\mathcal{L}_\Omega[\varphi] + a\varphi + \lambda\varphi \leq 0$를 만족하는 양의 하부해가 존재하는 $\lambda$의 상한으로 $\lambda_p$를 정의한다.
• 스케일링 극한을 분석하기 위해 $\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega}[\varphi] = \frac{1}{\sigma^{2+N}} \int_\Omega J\left(\frac{x-y}{\sigma}\right) \varphi(y)\,dy$ 를 고려한다. 여기서 $J$는 컴actsupport를 가지며 확률밀도함수이다.
• 에너지 추정과 $L^2_{\text{loc}}$에서의 약한 수렴을 사용하여, 스케일링된 고유함수 $\varphi_{p,\sigma}$가 국소 연산자 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$의 첫 번째 고유함수로 수렴함을 보인다. 여기서 $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$ 이다.
• 비국소 딜레르트 형식과 라플라스 연산자 간의 관계를 기초로 하는 대칭 이중선형형식 항등식 $\iint \rho(z)[u(x+z)-u(x)][\varphi(x+z)-\varphi(x)]\,dzdx$ 를 활용한다.
• 콤���턴스 추론과 소볼레프 공간 임bedding을 이용하여 $L^2_{\text{loc}}(\Omega)$에서 고유함수의 수렴하는 부분수열을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 연산자에 대해 비유계 영역에서 일반화된 주특성근 $\lambda_p$의 다양한 정의가 상등한가?
• RQ2 $\sigma \to 0$일 때, 주특성근 $\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \sigma^{-2} + a)$는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 해당 고유함수 $\varphi_{p,\sigma}$는 국소 타원형 연산자의 첫 번째 고유함수로 수렴하는가?
• RQ4 $\sigma \to 0$일 때, $\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,m,\Omega} - \sigma^{-m} + a)$의 정확한 점근적 극한은 무엇인가?
• RQ5 상호작용 범위가 점점 줄어들 때, 비국소 연산자는 국소 확산 연산자로 근사될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 주특성근 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$는 sup-inf 공식과 Collatz-Wielandt 유형의 특성화를 포함한 여러 공식과 상등하다.
• $\sigma \to 0$일 때, 스케일링된 주특성근은 $\lim_{\sigma \to 0} \lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \frac{1}{\sigma^2} + a\right) = \lambda_1\left(\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a\right)$ 를 만족한다. 여기서 $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$ 이다.
• 스케일링된 비국소 연산자와 관련된 고유함수 $\varphi_{p,\sigma}$는 $\sigma \to 0$일 때 $L^2_{\text{loc}}(\Omega)$에서 국소 연산자 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$의 첫 번째 고유함수 $\varphi_1$로 수렴한다.
• m=2일 때, $\lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,m,\Omega} - \sigma^{-m} + a\right)$의 점근적 극한은 국소 타원형 연산자 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$의 주특성근이며, 두 번째 모멘트 $D_2(J)$ 가 확산 계수를 결정한다.
• 0 < m < 2일 때 극한은 $-\infty$이며, m=0일 때는 $\sup_{x \in \Omega} a(x)$ 가 된다. 이는 스케일링 속도에 따라 행동이 변화하는 단계 전이를 보여준다.
• 고유함수의 수렴은 에너지 추정과 $L^2_{\text{loc}}$에서의 약한 수렴을 통해 확립되며, 극한 함수는 국소 고유값 문제의 약한 형태를 만족한다.