[논문 리뷰] On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle

Pierre‐Yves Bienvenu, François Hennecart|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정수와 원주에서 주어진 하한 점근 밀도와 합집합 밀도를 갖는 부분집합의 존재성을 해결한다. 임의의 $\alpha, \beta \in [0,1]$에 대해 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$이면, $\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ 및 $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$를 만족하는 $A \subset \mathbb{Z}$와 측도가 존재하는 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$가 존재함을 보이며, 이는 Weyl의 기준을 통한 균등분포와 의사 $k$-승 거듭제곱을 이용한 구성에 기반한다.

ABSTRACT

Let $\\mathrm{d}(A)$ be the asymptotic density (if it exists) of a sequence of integers $A$. For any real numbers $0\\leq\\alpha\\leq\\beta\\leq 1$, we solve the question of the existence of a sequence $A$ of positive integers such that $\\mathrm{d}(A)=\\alpha$ and $\\mathrm{d}(A+A)=\\beta$. More generally we study the set of $k$-tuples $(\\mathrm{d}(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{N}$. This leads us to introduce subsets defined by diophantine constraints inside a random set of integers known as the set of ``pseudo $s$th powers''. We consider similar problems for subsets of the circle $\\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$, that is, we partially determine the set of $k$-tuples $(\\mu(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$.

연구 동기 및 목표

• 기약 밀도가 존재하는 부분집합 $A \subset \mathbb{Z}$에 대해 모든 가능한 $k$-튜플 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$의 집합을 결정하는 것.
• 기약 밀도가 존재하는 측도가 존재하는 부분집합 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$에 대해 $k$-튜플 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$의 집합을 특성화하는 것.
• 모든 주어진 쌍 $(\alpha, \beta)$에 대해 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$인 경우 정수 및 원주 설정에서 모두 실현 가능한 집합 $A$를 구성하는 것.
• 특히 의사 $k$-승 거듭제곱을 통해 정의된 디오판틴 제약 조건을 갖는 랜덤 집합의 합집합의 밀도를 분석하는 것.
• 확률적 방법과 균등분포 이론을 활용해 합집합 밀도 결과를 고차수 합집합으로 확장하는 것.

제안 방법

• 무리수 회전을 통해 정수의 밀도를 원주 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 위의 측도로 연결하기 위해 Weyl의 균등분포 기준을 사용한다.
• 주어진 밀도 프로파일을 달성하기 위해 디오판틴 제약 조건을 갖는 의사 $k$-승 거듭제곱—랜덤 부분집합—을 이용해 집합을 구성한다.
• 모든 유한한 간격 내의 거의 모든 정수들이 $k$-합으로 표현 가능하다는 것을 보이기 위해 Borel-Cantelli 보조정리를 적용한다.
• 표현 수 $R_k(n)$의 모멘트 추정과 분산 경계를 적용하여 $kA$의 밀도를 제어한다.
• 의사 $k$-승 거듭제곱의 합에 관한 Landreau의 결과를 활용해 $\mathbb{P}(R_k(n) = 0)$를 추정하고 점근 밀도를 유도한다.
• 분수부의 균등분포에 관한 정리 1.2를 적용하여 무리수 회전에 따른 합집합 밀도의 기대값을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 쌍 $(\alpha, \beta) \in [0,1]^2$ 에 대해 $\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ 및 $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$를 만족하는 집합 $A \subset \mathbb{Z}$ 가 존재하는가?
• RQ2 모든 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 를 만족하는 쌍은 양의 밀도를 갖는 집합 $A$에 의해 실현될 수 있는가?
• RQ3 측도가 존재하는 부분집합 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 에 대해 가능한 모든 $k$-튜플 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$의 집합은 무엇인가?
• RQ4 의사 $k$-승 거듭제곱을 통해 정의된 랜덤 집합에 대해 고차수 합집합 $kA$의 밀도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 의사 $k$-승 거듭제곱의 구성에서 매개변수 $c$를 통해 $kA$의 밀도를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $\alpha, \beta \in [0,1]$ 에 대해 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 이면, $\mathrm{d}(A) = \alpha$ 및 $\mathrm{d}(2A) = \beta$를 만족하는 $A \subset \mathbb{Z}$ 가 존재하며, 이때 $A$는 잘 정의된 점근 밀도를 갖는다.
• 이러한 $\alpha, \beta$에 대해, $\mu(A) = \alpha$ 및 $\mu(2A) = \beta$를 만족하는 측도가 존재하는 부분집합 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 가 존재하며, $\alpha > 0$ 이면 $A$는 유한 개의 열린 구간의 합집합으로 취할 수 있다.
• 조건 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 하에서, $A \subset \mathbb{Z}$ 에 대해 $k$-튜플 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$ 의 집합이 완전히 특성화된다.
• $k \geq 2$ 에 대해, $\mathrm{d}(kA)$ 는 거의 확실히 $\frac{k}{k+1} - F_k(c)$ 이며, 여기서 $F_k(c)$ 는 $c$ 에 대해 감소하는 연속 함수이며 $\lim_{c \to 0} F_k(c) = \frac{k}{k+1}$ 및 $\lim_{c \to \infty} F_k(c) = 0$ 이다.
• 의사 $k$-승 거듭제곱의 구성은 $kA$ 의 여집합이 밀도 0을 갖도록 보장하므로, 특정 조건 하에 $k+1$-중합집합에서는 $\mathrm{d}(kA) = 1$ 이다.
• 비표본화 가능한 $n$ 의 경험적 밀도 $X_N$ 의 분산은 $O(N^{-1/k})$ 이며, 이는 기대한 극한 $\frac{1}{k+1} + F_k(c)$ 로의 거의 확실 수렴을 보장한다.