[논문 리뷰] On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime

Tomohiro Yamada|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 28.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 분해에서의 지수에 대한 제약 조건 하에 기약 완전수, 준완전수, 서로소이면서 기수성의 부호가 다른 친화수 쌍의 최소 소인수에 대해 명시적인 상한을 설정한다. 고도의 걸러내기 기법—특히 큰 걸러내기와 셀버그의 걸러내기—를 사용하여, 이러한 수들은 지수를 나누는 소수들의 집합에 더한 상수에 의존하는 계산 가능한 상한 이하의 소인수를 가져야 한다고 증명한다.

ABSTRACT

We shall give an explicit upper bound for the smallest prime factor of multiperfect numbers of the form $N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$ with $β_1, \ldots, β_t$ bounded by a given constant. We shall also give similar results for quasiperfect numbers and relatively prime amicable pairs of opposite parity.

연구 동기 및 목표

• 기약 완전수, 준완전수, 서로소이면서 기수성의 부호가 다른 친화수 쌍의 최소 소인수에 대해 효과적인 상한을 설정하는 것.
• 이전의 지수 제약 조건 결과를 확장하여 걸러내기 이론 기법을 사용해 명시적이고 계산 가능한 상한을 제공하는 것.
• 지수 제약 조건 하에서 이러한 수들이 반드시 작은 소인수를 가져야 한다는 사실을 보여줌으로써 특수한 경우에서의 유한성 추측을 해결하는 것.
• 코헨과 맥도날드의 이전 결과를 개선하여 큰 걸러내기 기법을 통해 더 날카롭고 명시적인 상수를 도출하는 것.
• 일부 지수 조건 하에서 이러한 수들이 주어진 상한을 초과할 수 없으며, 그 경우에 반드시 작은 소인수를 가져야 한다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 큰 걸러내기와 셀버그의 걸러내기를 적용하여 다중완전수, 준완전수, 친화수의 소인수 분포를 분석한다.
• 지수 $\beta_i$에 대해 $\beta_i + 1$ 이 유한한 소수 집합 $\mathcal{P}$ 내의 소수로 나누어지는 유한한 소수 집합 $\mathcal{P}$ 를 정의한다.
• 다음의 복합 상한을 정의한다: $C_0 = C_0(d,s,n,P,\epsilon)$, 여기서 $x_1(l)$, $L(\epsilon,n)$, $\varphi(P)$ 및 $|\mathcal{P}|$ 에 대한 지수항 포함.
• 산술적 등차수열에 속하는 소수의 수를 제한하기 위해 $u=2.000007$, $v=7.538$, $B=1.505$ 와 같은 매개변수를 사용한 걸러내기 부등식을 적용한다.
• 상한 $\prod_{p \geq C_1} \frac{p}{p-1}$ 를 도출하여, 이 값이 $2^{1/|\mathcal{P}|}$ 보다 작다는 것을 보여, 작은 소인수가 반드시 존재해야 한다는 결론을 이끌어낸다.
• 준완전수와 친화수의 연구를 동일한 프레임워크로 줄이기 위해, 그들의 $\sigma(N)/N$ 비율이 8을 법으로 특정 소수 합동을 피한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 $\beta_i \leq 4$ 를 갖는 기약 완전수의 최소 소인수는 무엇인가?
• RQ2 지수 $\beta_i$ 가 유한한 집합 $\mathcal{P}$ 에 속하는 소수로 나누어지는 경우, 다중완전수의 최소 소인수에 대해 명시적인 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ3 준완전수 또는 기수성의 부호가 다른 친화수 쌍이 존재할 수 있는 조건은 무엇이며, 그들의 소인수에 어떤 제약을 둔다?
• RQ4 특히 큰 걸러내기 기법을 사용할 때, 이러한 수의 최소 소인수에 대한 이전의 상한을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 모든 $\beta_i + 1$ 이 공통의 소수를 공유한다는 가정을 완화시켜도 여전히 효과적인 상한을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 지수 $\beta_i \leq 4$ 를 갖는 기약 완전수의 경우, 최소 소인수는 $\exp(4.97401 \times 10^{10})$ 이하로 상한이 설정되며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 모든 다중완전수 $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s} q_1^{\beta_1} \cdots q_t^{\beta_t}$ 에 대해, $h(N) = n/d$ 이고 $\beta_i + 1$ 이 유한한 집합 $\mathcal{P}$ 에 속하는 소수로 나누어지는 경우, $C_0$ 라는 명시적 상한을 구성하여, $N$ 이 $C_0$ 이하의 소인수를 가져야 한다고 보여준다.
• 준완전수 $N$ 에 대해 $\sigma(N) = 2N + 1$ 이고 각각의 $2\beta_i + 1$ 이 집합 $\mathcal{P}$ 에 속하는 소수로 나누어지는 경우, $N$ 은 $C_1 = x_3^{2310|\mathcal{P}|^2}$ 이하의 소인수를 가져야 하며, 여기서 $x_3$ 는 $\mathcal{P}$ 와 $l$ 에 따라 결정된다.
• 증명은 각각의 $l \in \mathcal{P}$ 에 대해 $\prod_{p \geq C_1, p \in R_l} \frac{p}{p-1} < 2^{1/|\mathcal{P}|}$ 를 보여주며, 이는 이러한 수들이 작은 소인수 없이 존재할 수 없다는 것을 의미한다.
• 이 방법은 $\mathcal{P} = \{3\}$ 또는 $\{5\}$ 는 기약 완전수에 대해 발생할 수 없음을 확인한다. 왜냐하면 이 경우 $l^4 \mid N$ 이 되어 작은 소인수 상한과 모순되기 때문이다.
• 기수성의 부호가 다른 친화수 쌍에 대해서는, 항등식 $\sigma(m)\sigma(n) = (m+n)^2$ 와 함께 $\sigma(N)/N > 2$ 이며, 8을 법으로 제한된 소인수를 갖는다는 점을 보여줌으로써 동일한 프레임워크로 환원된다.