[논문 리뷰] On the equidistribution of totally geodesic submanifolds in compact locally symmetric spaces and application to boundedness results for negative curves and exceptional divisors

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 체적을 가진 컴acts Hermitian 국소 대칭 공간에서 전체 지선 부분다양체의 등분포를 확립하며, 이러한 공간에서 유일한 전체 지선 곡면—특히 음의 곡선과 유일한 곡면—이 유한 개 뿐임을 증명한다. 이 결과는 2-구 또는 이중구의 몫에 대한 콤팩트 몫에서 음의 자기교차수를 가진 전체 지선 곡선이 오직 유한 개 존재한다는 것을 보여주며, Shimura 곡면에 대한 유계 부정성 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We prove an equidistribution result for totally geodesic submanifolds in a compact locally symmetric space. In the case of Hermitian locally symmetric spaces, this gives a convergence theorem for currents of integration along totally geodesic subvarieties. As a corollary, we obtain that on a complex surface which is a compact quotient of the bidisc or of the 2-ball, there is at most a finite number of totally geodesic curves with negative self intersection. More generally, we prove that there are only finitely many exceptional totally geodesic divisors in a compact Hermitian locally symmetric space of the noncompact type of dimension at least 2.

연구 동기 및 목표

• 유한 체적을 가진 콤팩트 Hermitian 국소 대칭 공간에서 전체 지선 부분다양체의 등분포를 확립한다.
• 2-구 또는 이중구의 몫에서의 전체 지선 곡선에 대해 Shimura 곡면에 대한 유계 부정성 추측을 해결한다.
• 복소 차원 ≥2인 콤팩트 Hermitian 국소 대칭 공간에서 유일한 전체 지선 곡면이 오직 유한 개 존재함을 증명한다.
• 유한성 결과를 가역적 대칭 공간과 국소적으로 분해 불가능한 곡면으로 확장한다.
• 현재의 수렴 및 등분포 기법을 적용할 수 있는 일반적 프레임워크를 제공한다. 이는 음의 곡선의 특별한 경우를 초월하여 적용 가능하다.

제안 방법

• 유한 체적을 가진 국소 대칭 공간에서 전체 지선 부분다양체의 통합 코어에 대한 등분포 정리를 활용한다.
• 이so메트리 군의 무순환 격자 작용 하에서 전체 지선 부분다양체와 관련된 확률 측도의 수렴을 적용한다.
• H^{1,1}(X,R)와 H^{n-1,n-1}(X,R) 사이의 비퇴화 쌍대성(pairing)을 활용하여 코homology 클래스의 渐近 행동을 분석한다.
• Grauert 기준을 사용하여 유일한 곡면과 매끄러운 표면의 교차로 얻어진 곡선의 음의 자기교차수를 유추한다.
• 정규화된 코homology 클래스의 극한이 영이 아닌 (1,1)-형식으로 수렴한다는 가정 하에 모순을 유도하는 반증 기법을 적용한다.
• 군 작용 하에서 카플러 형식과 체적 형식의 불변성을 이용하여 교차수의 양의 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-구 또는 이중구의 콤팩트 몫에서 음의 자기교차수를 가진 전체 지선 곡선이 오직 유한 개 존재하는가?
• RQ2 기하학적 및 코homological 방법을 통해 Shimura 곡면에 대한 유계 부정성 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 전체 지선 부분다양체의 등분포가 고차원 Hermitian 국소 대칭 공간에서 유일한 곡면의 유한성을 암시하는가?
• RQ4 전체 지선 곡면이 국소적으로 분해 불가능한 조건은 무엇이며, 이는 유일한 곡면의 유한성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 만약 무한히 많은 이러한 곡면이 존재한다면, 정규화된 코homology 클래스의 수렴이 모순을 일으킬 수 있는가?

주요 결과

• 2-구 또는 이중구의 몫인 임의의 콤팩트 복소 곡면에서 음의 자기교차수를 가진 전체 지선 곡선은 오직 유한 개 존재한다.
• 복소 차원 ≥2인 콤팩트 Hermitian 국소 대칭 공간에서 유일한 전체 지선 곡면은 오직 유한 개 존재한다.
• 무한히 많은 이러한 곡면이 존재한다고 가정할 경우, 전체 지선 곡면의 정규화된 코homology 클래스는 비영인 닫힌 (1,1)-형식으로 수렴한다.
• 모순은 교차수 추정에서 발생한다: 교차수의 극한은 0으로 수렴하지만, 극한 형식이 영이 아니므로 하한은 양수를 유지한다.
• 표준 분류 [K_X]는 앰플이며, G-불변 카플러 형식으로 표현되며, 체적과 코homological 계산에서 양의 성질을 보장한다.
• 국소적으로 분해 가능한 유일한 곡면(즉, 곡선과의 곱으로 표현되는)은 기약 국소 대칭 공간에서는 존재할 수 없다. 이는 격자의 기약성에 위배되기 때문이다.