[논문 리뷰] On the Euler discretization error of Brownian motion about random times

A. B. Dieker, Guido Lagos|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동에서 장벽에 도달하거나 극단적 사건(유한 또는 무한 시간 간격에서의 최소값 등)을 샘플링할 때 옐러러 이산화 오차의 약한 수렴을 분석한다. 도달 시간과 위치에서 정규화된 이산화 오차의 극한 분포를 도출하며, 이 극한 분포의 평균으로 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$가 나타나, 확률론과 확률적 시뮬레이션 분야에서 서로 다른 결과들을 통합함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we derive weak limits for the discretization errors of sampling barrier-hitting and extreme events of Brownian motion by using the Euler discretization simulation method. Specifically, we consider the Euler discretization approximation of Brownian motion to sample barrier-hitting events, i.e. hitting for the first time a deterministic "barrier" function; and to sample extreme events, i.e. attaining a minimum on a given compact time interval or unbounded closed time interval. For each case we study the discretization error between the actual time the event occurs versus the time the event occurs for the discretized path, and also the discretization error on the position of the Brownian motion at these times. We show limits in distribution for the discretization errors normalized by their convergence rate, and give closed-form analytic expressions for the limiting random variables. Additionally, we use these limits to study the asymptotic behaviour of Gaussian random walks in the following situations: (1.) the overshoot of a Gaussian walk above a barrier that goes to infinity; (2.) the minimum of a Gaussian walk compared to the minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, both up to the same time horizon that goes to infinity; and (3.) the global minimum of a Gaussian walk compared to the global minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, when both have the same positive drift decreasing to zero. In deriving these limits in distribution we provide a unified framework to understand the relation between several papers where the constant $-ζ(1/2)/\sqrt{2 π}$ has appeared, where $ζ$ is the Riemann zeta function. In particular, we show that this constant is the mean of some of the limiting distributions we derive.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동의 장벽 도달 및 극단적 사건을 시뮬레이션할 때 옐러러 이산화의 이론적 정확도를 이해하는 것.
• 이러한 사건에 대해 도달 시간과 위치에서 정규화된 이산화 오차의 약한 극한을 특성화하는 것.
• 확률론, 통계학 및 금융공학 분야의 다양한 문헌에서 나타나는 상수 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$를 통합하는 것.
• 브라운 다리 보간을 통해 브라운 운동과 연결된 정규 분포를 가진 이산화 보행을 통해 결과를 확장하는 것.
• 핵심 확률적 사건에서 이산화 오차의 극한 분포에 대한 닫힌 형태의 표현식을 제공하는 것.

제안 방법

• 진짜 장벽 도달 시간과 경로가 처음으로 이를 초과하는 이산화 시간점 사이의 이산화 오차를 분석한다.
• 도달 시간 오차를 $\sqrt{n}$으로 정규화하고, $n$이 무한으로 갈 때의 약한 극한을 유도한다. 여기서 $n$은 시간 단계의 수이다.
• 사건 시간 근처에서 이산화 경로의 행동을 연구하기 위해 진짜 최소값 또는 도달 시간을 중심으로 한 국소화 기법을 사용한다.
• 측도 변화와 브라운 다리 보간을 적용하여 이산화 정규 보행과 연속적인 브라운 운동을 연결한다.
• 브라운 증분의 스케일링 극한을 사용하여 사건 시간에서의 위치 이산화 오차의 극한 분포를 도출한다.
• 도달 시간과 위치 편차의 공동 행동을 분석함으로써 정규화된 오차의 분포 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 분포를 따르는 장벽에 대해, 브라운 운동의 도달 시간에 대한 이산화 오차의 극한 분포는 무엇인가? 이 장벽은 결정론적이고, 연속적으로 미분 가능하며, 비감소 함수이다.
• RQ2 옐러러 이산화에 의한 브라운 운동의 도달 시간에서의 위치 이산화 오차는 점점 커질 때 어떻게 행동하는가?
• RQ3 브라운 운동의 전역 최소값이 $[0, \infty)$에서 발생하는 경우, 시간과 위치에 대한 이산화 오차의 약한 극한은 무엇인가?
• RQ4 growing 장벽을 초과하는 정규 분포 보행의 오버슈트와 최소값은 브라운 다리 보간을 통해 브라운 운동의 것과 어떻게 수렴하는가?
• RQ5 왜 상수 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$는 브라운 운동과 정규 분포 보행을 포함한 다양한 맥락에서 나타나며, 그 확률적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 정규화된 도달 시간 이산화 오차는 브라운 국소 시간과 스케일링 극한을 통해 명시적으로 기술된 분포를 갖는 극한 랜덤 변수로 약한 수렴을 보인다.
• 도달 시간에서의 위치 이산화 오차 역시 약한 수렴을 보이며, 이 극한 분포는 장벽 근처에서 브라운 경로의 국소적 행동에 따라 달라진다.
• 시간 간격 $[0, \infty)$에서의 전역 최소값에 대해, 시간과 위치의 정규화된 이산화 오차는 리만 제타 함수를 포함한 닫힌 형태의 표현식을 갖는 극한 분포로 수렴한다.
• 상수 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$는 일정 장벽에 대한 도달 시간 이산화 오차의 극한 분포의 평균으로 확인된다.
• 성장하는 장벽을 초과하는 정규 분포 보행의 오버슈트의 점점 커지는 행동은 브라운 운동의 경우와 동일한 극한 법칙으로 수렴한다.
• 시간 영역이 증가함에 따라 정규 분포 보행의 최소값과 브라운 다리 보간을 통해 얻은 브라운 운동의 최소값은 동일한 극한 분포로 수렴하며, 이산화 오차는 그 차이를 캡처한다.