[논문 리뷰] On the Euler-Maruyama approximation for one-dimensional stochastic differential equations with irregular coefficients

Hoang-Long Ngo, Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 비정규성 계수를 가진 일차원 SDE에 대해 오일러-마르야모 방법의 강한 수렴 속도를 확립한다. 특히 비연속성인 속도 항과 허더 연속성인 확산 항을 다룬다. 새로운 제거 속도 변환을 도입하고 얀다-와타나베 유형의 추정치를 활용하여, 속도 항이 연속적이거나 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하지 않는 광범위한 SDE 클래스에서 $L^p$-sup 노름으로 수렴 속도 1/2를 증명한다. 이는 계수의 정규성 조건을 더 약하게 가정함으로써 이전 결과를 크게 확장한다.

ABSTRACT

We study the strong rates of the Euler-Maruyama approximation for one dimensional stochastic differential equations whose drift coefficient may be neither continuous nor one-sided Lipschitz and diffusion coefficient is Hölder continuous. Especially, we show that the strong rate of the Euler-Maruyama approximation is 1/2 for a large class of equations whose drift is not continuous. We also provide the strong rate for equations whose drift is Hölder continuous and diffusion is nonconstant

연구 동기 및 목표

• 비정규 계수를 가진 일차원 SDE에 대해 오일러-마르야모 근사의 강한 수렴 속도를 분석한다. 특히 속도 항이 비연속적이며 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하지 않는 경우를 다룬다.
• 기존의 수렴 결과를 속도 계수에 대한 표준 리프시츠 또는 한쪽 방향 리프시츠 조건을 초월하여 확장한다.
• 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 $L^p$-sup 및 $L^1$-sup 노름에서의 수렴 속도를 확립한다.
• 비연속 속도 항과 허더 연속 확산을 다룰 수 있는 새로운 분석 프레임워크를 제안하기 위해 제거 속도 변환을 기반으로 한다.

제안 방법

• 비정규 속도 항을 확산 성분에서 분리하기 위해 새로운 제거 속도 변환을 도입하여 표준 근사 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 허더 연속성 확산 계수에서 발생하는 오차를 제어하기 위해 얀다-와타나베 유형의 근사 방법을 적용한다.
• 속도 항을 유한 변동성 부분 $b_A$ 와 허더 연속 부분 $b_H$ 로 분해하여 비정규성을 다룬다.
• 이토 등식과 그로워울 유형 부등식을 활용해 근사 오차의 $L^p$-노름을 유 bounds하기 위해 모멘트 추정치를 수립한다.
• 국소화 기법과 상수의 정밀한 추적을 통해 $L^1$-노름과 $\alpha = 0$ 인 경우의 로그 수렴 속도를 다룬다.
• 스토크래틱 적분의 경계와 모멘트 부등식(예: 보조정리 3.5)을 활용해 $b$와 $\sigma$의 다양한 정규성 조건 하에서 수렴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 속도 항과 허더 연속 확산 항을 가진 SDE에 대해 오일러-마르야모 방법의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 속도 항이 연속적이거나 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하지 않을 경우, 1/2 수렴 속도가 유지될 수 있는가?
• RQ3 속도 항이 유한 변동성과 허더 정규성 성분을 가질 경우 오차는 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 표준 리프시츠 조건이 실패할 경우 비정규 계수를 다루는 데 효과적인 분석 기법은 무엇인가?
• RQ5 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 $L^p$-sup 노름 수렴을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 비연속 속도 항과 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하지 않는 광범위한 SDE 클래스에서 오일러-마르야모 방법의 강한 수렴 속도는 $L^p$-sup 노름으로 $1/2$이다.
• 순서 $\beta \in (0,1]$의 허더 연속 속도 항과 비정수 허더 연속 확산 항을 가진 SDE에 대해 수렴 속도는 $\beta/2$이다.
• 확산 계수 $\sigma$가 $(\alpha + 1/2)$-허더 연속이며 $\alpha \in (0,1/2]$일 경우, $L^p$-sup 노름에서 수렴 속도는 $1/2 \wedge \frac{p\beta}{2} \wedge p\alpha$이다.
• $\alpha = 0$ 인 경우, $L^1$-sup 노름에서 수렴 속도는 $1/\log n$이며, 이는 확산의 정규성 부족으로 인한 로그 수렴을 나타낸다.
• 제거 속도 변환을 통해 속도 항이 $L^1(\mathbb{R})$ 에 속하지 않을 경우에도 $L^p$-노름 경계를 도출할 수 있으며, 이는 이전 국소화 방법의 한계를 극복한다.
• 상한/하한 해나 한쪽 방향 리프시츠 조건에 의존하지 않아 이전 접근 방식보다 더 일반적인 프레임워크를 제공한다.