[논문 리뷰] On the excedance number of colored permutation groups

Eli Bagno, David Garber|ArXiv.org|2005. 05. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 1인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 대칭군에서의 초출, 고정점, 순환 수와 관련된 오일러 다항식 항등식을 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$와 $D_n$ 형식의 코xeter 군으로 일반화한다. 색이 있는 순열에 대해 절대적이고 색을 고려하는 두 가지 다른 순서를 도입하지만, 놀랍게도 둘 다 동일한 생성 함수 공식을 도출하며, $s = -1$일 때 초출, 고정점, 순환 수의 다변수 분포에 대한 닫힌 표현식을 제공한다. 핵심 결과는 $G_{r,n}$ 및 $D_n$의 생성 함수가 이 두 순서에 대해 동일하게 일치하며, Ksavrelof와 Zeng의 고전적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We generalize the results of Ksavrelof and Zeng about the multidistribution of the excedance number of $S_n$ with some natural parameters to the colored permutation group and to the Coxeter group of type $D$. We define two different orders on these groups which induce two different excedance numbers. Surprisingly, in the case of the colored permutation group, we get the same generalized formulas for both orders.

연구 동기 및 목표

• 대칭군 $S_n$에서의 초출, 고정점, 순환 수의 다변수 분포를 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$와 코xeter 군 $D_n$로 확장한다.
• 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$의 알파벳에 대해 두 가지 다른 순서를 정의한다: 색을 忽시하는 (절대 순서)와 색의 구조를 고려하는 (색 인식 순서).
• 이 두 순서 간에 초출 통계에 대한 일반화된 생성 함수가 다를지 조사한다.
• 특히 $t=1$과 $t=0$일 때, $s = -1$인 경우 생성 함수 $P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ 및 $P_{D_n}(q,t,s)$의 닫힌 표현식을 유도한다.

제안 방법

• 알파벳 $Σ = \{1, \dots, n, \bar{1}, \dots, \bar{n}, \dots, 1^{[r-1]}, \dots, n^{[r-1]}\}$에 대해 절대 순서와 색 인식(Clr) 순서를 정의한다.
• 각 순서에 기반한 초출 수 $\mathrm{exc}(\pi)$를 정의한다: $\mathrm{exc}^{\rm Abs}(\pi)$ 및 $\mathrm{exc}^{\rm Clr}(\pi)$.
• 모든 순서에 대해 생성 함수 $P_{G_{r,n}}(q,t,s) = \sum_{\pi \in G_{r,n}} q^{\mathrm{exc}(\pi)} t^{\mathrm{fix}(\pi)} s^{\mathrm{cyc}(\pi)}$ 를 구성한다.
• 마지막 숫자와 순환 구조에 기반한 $G_{r,n}$ 및 $D_n$의 부분집합으로의 재귀적 분해를 통해 생성 함수에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• 킬링 치환과 부분집합 간의 전단사 사상 적용을 통해 $P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ 를 $P_{G_{r,n-1}}(q,t,s)$ 와 $P_{D_n}(q,t,s)$ 를 $P_{D_{n-1}}(q,t,s)$ 와 연결한다.
• 유도된 재귀 관계를 해결하여 $P_{G_{r,n}}(q,1,-1)$, $P_{G_{r,n}}(q,0,-1)$, $P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1)$, $P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1)$ 의 닫힌 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$의 알파벳에 대해 절대 순서와 색 인식 순서를 선택할 경우, $s = -1$일 때 초출, 고정점, 순환 수의 생성 함수에 영향을 미치는가?
• RQ2 색이 있는 알파벳에 대해 두 가지 다른 순서를 사용하여 $S_n$의 고전적 오일러 항등식을 $G_{r,n}$ 및 $D_n$으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 정의상 다를 뿐만 아니라 초출 수가 다른 두 순서에도 불구하고, $G_{r,n}$에서 동일한 닫힌 표현식이 유도되는 이유는 무엇인가?
• RQ4 $D_n$의 코xeter 군에 대해 색 인식 순서와 절대 순서에서 생성 함수 $P_{D_n}(q,t,s)$ 의 구조는 어떠한가?
• RQ5 $G_{r,n}$ 및 $D_n$의 재귀적 구조는 $s = -1$일 때 생성 함수의 닫힌 표현식 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$에서 절대 순서에 대해 생성 함수는 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$ 를 만족하며, 이는 닫힌 형태 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = -\frac{(q^r - 1)^n}{q - 1}$ 으로 유도된다.
• 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$에서 색 인식 순서에 대해 생성 함수는 $P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$ 를 만족하며, 절대 순서와 동일한 닫힌 형태를 얻는다.
• 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$의 비고정점 순열에 대해, 두 순서 모두에서 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,0,-1) = P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,0,-1) = -q[r]_q^n [n-1]_q$ 를 만족하며, 여기서 $[r]_q = \frac{1 - q^r}{1 - q}$ 이다.
• 코xeter 군 $D_n$의 색 인식 순서에서 $P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^2 - 1) P_{D_{n-1}}^{\rm Clr}(q,1,-1)$ 를 만족하며, 이는 $P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (1 - q^2)^{n-1}$ 으로 유도된다.
• 코xeter 군 $D_n$의 절대 순서에서 $P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = (q - 1)(P_{D_{n-1}}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) + q P_{D_{n-1}^c}^{{\rm Abs}}(q,1,-1))$ 를 만족하며, 이는 $P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = -\frac{1}{2}(q - 1)^{n-1} \left( (1 + q)^n + (1 - q)^n \right)$ 으로 유도된다.
• 색이 있는 순열군 $G_{r,n}$ 및 $D_n$의 생성 함수가 $s = -1$일 때, $S_n$의 고전적 결과인 Ksavrelof와 Zeng의 결과를 일반화하며, $G_{r,n}$의 순서 선택에 관계없이 동일한 공식이 도출된다.