[논문 리뷰] On the Expressive Completeness of Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic

Mnacho Echenim, Radu Iosif외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 베르나이스-쇼른펠름-라름 세퍼레이션 로직($\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$)의 만족 가능성 문제를 조사하며, 양의 발생에서 분리된 함의 내에 포함된 전칭 기댓변수로 인해 일반적 분할이 결정 불가능하다고 보여준다. 이를 바탕으로 분리된 함의 내에서 전칭 기댓변수의 극성과 범위를 제한함으로써 두 개의 결정 가능 분할—$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 및 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$—을 식별하고, 분리 연결자들을 일阶논리 등가로 제거하는 제어된 방법을 통해 두 분할 모두 PSPACE-완전임을 증명한다.

ABSTRACT

This paper investigates the satisfiability problem for Separation Logic, with unrestricted nesting of separating conjunctions and implications, for prenex formulae with quantifier prefix in the language $\\exists^*\\forall^*$, in the cases where the universe of possible locations is either countably infinite or finite. In analogy with first-order logic with uninterpreted predicates and equality, we call this fragment Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic [BSR(SLk)]. We show that, unlike in first-order logic, the (in)finite satisfiability problem is undecidable for BSR(SLk) and we define two non-trivial subsets thereof, that are decidable for finite and infinite satisfiability, respectively, by controlling the occurrences of universally quantified variables within the scope of separating implications, as well as the polarity of the occurrences of the latter. The decidability results are obtained by a controlled elimination of separating connectives, described as (i) an effective translation of a prenex form Separation Logic formula into a combination of a small number of \\emph{test formulae}, using only first-order connectives, followed by (ii) a translation of the latter into an equisatisfiable first-order formula.

연구 동기 및 목표

• 유한 및 무한 힙에서 양의 기댓변수를 가진 분리 로직 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$의 만족 가능성 문제의 결정 가능성 분석.
• 유한 및 무한 만족 가능성에 대해 각각 결정 가능한 비트리비얼 분할을 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$에서 식별.
• 불리안 조합의 테스트 공식과 동치 만족 가능성의 일阶논리 공식으로 $\mathsf{SL}^{k}$ 공식을 번역함으로써 표현력 완전성 확보.
• 실제 검증 조건과 일치하는 결정 가능한 분할을 식별함으로써 자동 검증을 위한 기반 마련.

제안 방법

• 분리된 함의 내에서 전칭 기댓변수가 음성 또는 비양성 맥락에만 나타나도록 제한함으로써 두 분할인 $\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 및 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ 제안.
• 각 공식을 불리안 조합의 테스트 공식으로 표현함으로써 분리 연결자를 제거하는 번역 메커니즘 도입, 일阶논리 연결자만 사용.
• 전치된 $\mathsf{SL}^{k}$ 공식을 동치 만족 가능성의 일阶논리 공식으로 매핑하는 번역 $\delta(\phi)$ 구축하여 유한 및 무한 도메인에서의 만족 가능성 유지.
• 최소항 분해 및 유한한 도메인 크기를 갖는 모델 구축을 통한 $*$ 및 $\mathrel{\mbox{$\mathord{-}\mathord{-}\mathord{*}$}}$의 제어된 제거.
• 유한 모델이 $\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$의 크기로 유한한 공간 내에서 추측되고 검증될 수 있음을 보여, PSPACE-완전성 증명.
• 모델 간의 등가성 $\tau(\varphi') \land \mathcal{A}(\varphi')$ 와 $\mathsf{BSR}(\mathsf{FO})$ 공식 간의 등가성을 활용하여 만족 가능성 문제를 유한 모델을 갖는 일阶논리 문제로 환원.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k \geq 2$일 때, 유한 및 무한 힙에서 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$의 만족 가능성 문제는 결정 가능한가?
• RQ2 분리된 함의 내에서 전칭 기댓변수에 대한 문법적 제약 조건은 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$의 결정 가능 분할을 이끌어내는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $\mathsf{SL}^{k}$의 분리 연결자를 테스트 공식의 불리안 조합으로 번역함으로써 체계적으로 제거할 수 있으며, 동치 만족 가능성은 유지되는가?
• RQ4 결과적으로 도출된 결정 가능한 분할에 대해 유한 및 무한 만족 가능성 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 제안된 번역 기법을 사용하여 기댓변수 없는 $\mathsf{SL}^{k}$의 알려진 복잡도 결과, 예를 들어 PSPACE-완전성 결과를 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ 분할은 $k \geq 2$일 때 결정 불가능하며, 주로 양의 극성에서 분리된 함의 내에 전칭 기댓변수가 포함되어 있기 때문이다.
• 분리된 함의 내에서 전칭 기댓변수가 양의 발생을 허용하지 않는 $\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 분할은 유한 만족 가능성에 대해 결정 가능하며, PSPACE-완전이다.
• 분리된 함의 내에서 전칭 기댓변수가 음성 또는 비양성 맥락에만 존재하도록 제한된 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ 분할은 무한 만족 가능성에 대해 결정 가능하며, PSPACE-완전이다.
• $\mathsf{SL}^{k}$ 공식을 불리안 조합의 테스트 공식으로 번역하는 것은 분리 연결자의 제어된 제거를 가능하게 하여 문제를 일阶논리로 환원한다.
• 번역된 일阶논리 공식의 최소 모델 크기는 $\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$로 유계이며, 이는 다항 시간 내 모델 체크가 가능함을 의미한다.
• 기존의 기댓변수 없는 $\mathsf{SL}^{k}$의 PSPACE-완전성 결과를 복구한다. 즉, $\phi \multimap \top$이 $\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 및 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ 양쪽 모두에 속함을 보여줌으로써.