[논문 리뷰] On the failure of Gorensteinness at weight 1 Eisenstein points of the eigencurve

Adel Betina, Mladen Dimitrov외 1명|Explore Bristol Research|2018. 04. 02.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 고전적 무게 1 아이젠스타인 점에서 고유형 eigencurve의 국소 기하학을 조사하며, 이러한 점에서 고유형 eigencurve가 무게 공간 위에서 에탈리이며, 국소 링이 코hen–맥컬레이이지만 과르스타인은 아님을 증명한다. 또한 $ R = T $ 정리를 수립하고, 초수렴형 형태의 푸리에 계수를 계산하며, 잔여 사상의 기하적 구성에 의해 페로로–그린버그 정리와 그로스의 공식을 새롭게 증명한다. 이 과정에서 합동 이상수는 쿠바타–라오피르트 $ p $-진 $ L $-함수에 의해 생성됨을 보인다.

ABSTRACT

We prove that the cuspidal eigencurve $C_{\\mathrm{cusp}}$ is \\'etale over the weight space at any classical weight $1$ Eisenstein point $f$ and meets two Eisenstein components of the eigencurve $C$ transversally at $f$. Further, we prove that the local ring of $C$ at $f$ is Cohen--Macaulay but not Gorenstein and compute the Fourier coefficients of a basis of overconvergent weight $1$ modular forms lying in the same generalised eigenspace as $f$. In addition, we prove an $R=T$ theorem for the local ring at $f$ of the closed subspace of $C$ given by the union of $C_{\\mathrm{cusp}}$ and one Eisenstein component and prove unconditionally, via a geometric construction of the residue map, that the corresponding congruence ideal is generated by the Kubota--Leopoldt $p$-adic $L$-function. Finally we obtain a new proof of the Ferrero--Greenberg Theorem and Gross' formula for the derivative of the $p$-adic $L$-function at the trivial zero.

연구 동기 및 목표

• 고전적 무게 1 아이젠스타인 점에서 eigencurve의 국소 구조를 이해하며, 특히 과르스타인 성질의 실패를 분석한다.
• 이러한 점에서 국소 링에 대해 $ R = T $ 정리를 수립하며, 고유형 및 하나의 아이젠스타인 성분을 통합한다.
• 아이젠스타인 점과 같은 일반화된 고유형 공간에 속하는 무게 1 초수렴형 모듈라 형식의 푸리에 계수를 계산한다.
• 페로로–그린버그 정리와 $ p $-진 $ L $-함수의 도함수에 대한 그로스의 공식을 기하적 방법으로 재증명한다.

제안 방법

• 일반적인 갈루아 변형 이론을 사용하여 아이젠스타인 급수에 관련된 표준적인 비기약이지만 분해되지 않은 갈루아 표현을 구성한다.
• 베이커–브루머의 정리를 적용하여 거의 일반적인 변형의 접선 공간을 분석하고 이를 이와사와 코homology와 연결한다.
• 고유형 eigencurve가 무게 공간 위에서 에탈리한지 분석하기 위해 갈루아 표현의 기하적 변형을 구성한다.
• 윌즈의 수치 기준을 사용하여 국소 링 내 허크 대수의 이미지가 완전 교차임을 증명한다.
• 잔여 사상의 기하적 구성에 의해 합동 이상수가 쿠바타–라오피르트 $ p $-진 $ L $-함수에 의해 생성됨을 보인다.
• 비고유형 히다 가닥에 대한 대칭 정리와 아이젠스타인 가닥의 상수항을 분석하여 푸리에 계수 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 무게 1 아이젠스타인 점에서 고유형 eigencurve는 무게 공간 위에서 에탈리한가?
• RQ2 이러한 점에서 eigencurve의 국소 링은 과르스타인인가? 만약 아니라면 그 구조는 어떠한가?
• RQ3 이러한 점에서의 합동 이상수는 쿠바타–라오피르트 $ p $-진 $ L $-함수에 의해 생성될 수 있는가?
• RQ4 아이젠스타인 점과 같은 일반화된 고유형 공간에 속하는 초수렴형 무게 1 모듈라 형식의 푸리에 계수는 무엇인가?
• RQ5 페로로–그린버그 정리와 $ p $-진 $ L $-함수의 도함수에 대한 그로스의 공식은 기하적 방법으로 재유도될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 고전적 무게 1 아이젠스타인 점 $ f $ 에서 고유형 eigencurve $ \mathscr{C}_{\operatorname{cusp}} $ 는 무게 공간 $ \mathcal{W} $ 위에서 에탈리하며, 이는 $ f $ 를 통과하는 고유형 성분이 유일함을 의미한다.
• 점 $ f $ 에서 eigencurve의 국소 링 $ \mathcal{T} $ 는 코헨–맥컬레이이지만 과르스타인은 아니며, 대각선 $ \varLambda $-대수의 구조를 가진 $ \varLambda \times_{\bar{\mathbb{Q}}_p} \varLambda \times_{\bar{\mathbb{Q}}_p} \varLambda $ 와 동형이다.
• 허크 대수 $ \varLambda[T_\ell]_{\ell \nmid Np} $ 가 $ \mathcal{T} $ 에 사상하는 이미지 $ \mathcal{T}' $ 는 완전 교차이며, $ \{(a,b,c) \in \varLambda^3 \mid a(0) = b(0) = c(0)\} $ 과 동형이다.
• 점 $ f $ 에서의 합동 이상수는 잔여 사상의 기하적 구성에 의해 조건부로도 쿠바타–라오피르트 $ p $-진 $ L $-함수에 의해 생성됨을 증명하였다.
• $ p $-진 $ L $-함수의 영점에서의 도함수는 $ L_p'(\phi\omega_p, 0) = \mathscr{L}(\phi)L(\phi, 0) $ 를 만족하며, 이는 페로로–그린버그 정리에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 형식 $ f^\dagger_{\mathbf{1},\phi} $ 와 $ f^\dagger_{\phi,\mathbf{1}} $ 의 푸리에 계수는 명시적으로 계산되었으며, $ a_0(f^\dagger_{\mathbf{1},\phi}) = (\mathscr{L}(\phi) + \mathscr{L}(\phi^{-1})) \cdot \frac{L(\phi, 0)}{2} $ 이다.