[논문 리뷰] On the first-passage time of an integrated Gauss-Markov process

Mario Abundo|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 통합 가우스-마르코프 과정의 최초도달시간(FPT)과 최초외출시간을 조사하며, 통합 브라운 운동의 결과를 일반화한다. 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로서 통합 과정을 표현함으로써, 특히 初기 속도가 0일 경우의 FPT 밀도 및 모멘트에 대한 명시적 공식을 유도하고, 간격에 대한 외출 시간 모멘트에 대한 급수 기반 표현을 제공하며, 오르누슈-울렌벡의 경우에 대해 수치적으로 확인된 $ L^{2/3} $ 척도를 제시한다.

ABSTRACT

It is considered the integrated process $X(t)= x + \int _0^t Y(s) ds ,$ where $Y(t)$ is a Gauss-Markov process starting from $y.$ The first-passage time (FPT) of $X$ through a constant boundary and the first-exit time of $X$ from an interval $(a,b)$ are investigated, generalizing some results on FPT of integrated Brownian motion. An essential role is played by a useful representation of $X,$ in terms of Brownian motion which allows to reduces the FPT of $X$ to that of a time-changed Brownian motion. Some explicit examples are reported; when theoretical calculation is not available, the quantities of interest are estimated by numerical computation.

연구 동기 및 목표

• 통합 브라운 운동에 대한 최초도달시간(FPT) 결과를 더 넓은 범주인 통합 가우스-마르코프 과정으로 일반화하기.
• 통합 과정이 유한 구간 $ (a,b) $ 외부로 나가는 최초외출시간을 분석하여 통합 브라운 운동에 대한 기존 결과를 확장하기.
• 통합 과정을 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현함으로써 콜모고로프 방정식을 풀지 않고도 분석을 단순화하기.
• 특히 초기 속도 $ y = 0 $ 인 경우의 FPT 밀도 및 모멘트에 대한 명시적 표현을 도출하고, 닫힌 형태가 없는 경우에 대한 추정을 수행하기.
• 구간 길이 $ L = b - a $ 에 따라 평균 외출 시간의 $ L^{2/3} $ 척도가 성립하는지 확인하며, 통합 브라운 운동에서 관찰된 결과와 일치함을 보임.

제안 방법

• 통합 가우스-마르코프 과정 $ X(t) = x + \int_0^t Y(s)ds $ 를 분산 함수 $ \gamma(\rho(t)) $ 를 기반으로 한 변환을 통해 시간에 따라 변형된 브라운 운동으로 표현하기.
• 표현식 $ X(t) = x + M(t) + \widehat{B}(\widehat{\rho}(t)) $ 를 사용하여, 여기서 $ \widehat{B} $ 는 표준 브라운 운동이고 $ \widehat{\rho}(t) = \gamma(\rho(t)) $ 이며, FPT 문제를 시간에 따라 변형된 브라운 운동의 문제로 환원하기.
• 브라운 운동의 최초도달시간에 대한 기존 결과를 적용하여 $ X $ 의 FPT 밀도 및 모멘트를 도출하며, 특히 $ y = 0 $ 인 경우에 중점을 두기.
• 이중 경계 문제의 경우, 첫 외출 시간의 $ n $차 모멘트를 기본 함수를 포함하는 급수 형태로 표현하며, 코시 코스함수 전개를 활용하기.
• 닫힌 형태의 해가 없는 경우, 적분의 지수적 감쇠를 이용해 계산 도메인을 제한하고, 적분을 수치적으로 평가하기.
• 기대 외출 시간이 랜덤 초깃값에 대해 표현되는 식에서 합과 적분의 순서를 바꾸는 것을 정당화하기 위해 도미네이팅 수렴 정리를 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통합 가우스-마르코프 과정이 일정한 경계를 통과하는 최초도달시간 분포는 무엇인가?
• RQ2 통합 가우스-마르코프 과정에 대해 구간 $ (a,b) $ 에서의 최초외출시간 모멘트는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 통합 가우스-마르코프 과정의 최초외출시간은 기본 함수의 급수 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ4 외출 시간의 평균은 구간 길이 $ L = b - a $ 와 어떻게 척도화되며, 통합 브라운 운동에서 관찰된 바와 같이 $ L^{2/3} $ 법칙을 따르는가?
• RQ5 초기 속도 $ y = 0 $ 인 경우 통합 과정에 대한 외출 확률 $ \pi_a(x,0) $ 와 $ \pi_b(x,0) $ 는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 초기 속도 $ y = 0 $ 인 경우, $ (a,b) $ 에서의 최초외출시간의 $ n $차 모멘트는 기본 함수만을 포함하는 수렴 급수 형태로 표현되며, 이는 해석적 및 수치적 계산이 가능하다.
• 균일 분포된 초깃값을 가진 경우의 평균 외출 시간 $ \overline{T}_{a,b} $ 는 $ (b-a)^{2/3} $ 의 척도로 표현되며, 통합 브라운 운동에서 관찰된 $ L^{2/3} $ 척도 법칙을 확인한다.
• 초기 속도 $ y = 0 $ 인 통합 오르누슈-울렌벡 과정의 경우, 평균 외출 시간은 수치적으로 계산되어 $ x \in (-1,1) $ 에 대한 함수로 그려졌으며, 평균 회귀 파라미터 $ \mu $ 에 대한 의존성을 보였다.
• 통합 OU 과정의 최초외출시간 분산은 유한하며, 최대 평균 외출 시간의 약 5% 수준에서 최댓값을 보이며, 비교적 낮은 변동성을 나타낸다.
• 초깃값이 밀도 $ g(x) $ 를 가진 랜덤 변수일 경우, 평균 외출 시간 $ \overline{T}_{a,b} $ 는 $ E[U_k] $ 를 포함하는 급수 형태로 표현되며, 여기서 $ U_k = \cos\left[\frac{\pi(2k+1)}{b-a}\left(\eta - \frac{a+b}{2}\right)\right] $ 이며, 기대값 기반 계산이 가능하다.
• 외출 확률 $ \pi_a(x,0) = \frac{b-x}{b-a} $ 와 $ \pi_b(x,0) = \frac{x-a}{b-a} $ 는 닫힌 형태로 유도되었으며, 시간에 따라 변형된 표현 덕분에 표준 브라운 운동 외출 확률과 일치한다.