[논문 리뷰] On the Gauss-Manin connection in cyclic homology

Boris Tsygan|ArXiv.org|2007. 01. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 DGLA의 비틀린 보편 호모지적 대수 위에서 명시적인 $L_∞$-모듈러 구조를 사용하여 주기적 순환 호모로지에서 Gauss-Manin 접속을 체인 복합체 수준에서 구성한다. 핵심 기여는 $\mathfrak{g}_A^\bullet[u,\epsilon]$에서 주기적 순환 복합체의 자기 사상으로의 $L_∞$-사상에 의한 표준적이고, 연관자(associator)를 사용하지 않는 접속 구성이다. 이는 Getzler의 평탄한 접속을 $\operatorname{HC}_\bullet^\operatorname{per}(A)$에 유도한다.

ABSTRACT

We define Getzler's Gauss-Manin connection in cyclic homology at the level of chains and outline some relations of this construction to noncommutative calculus.

연구 동기 및 목표

• 주기적 순환 호모로지에서 Getzler의 Gauss-Manin 접속을 코homology가 아닌 체인 수준에서 정의하는 것.
• 부정적 순환 체인 복합체 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 위에 명시적이고, $K[[u]]$-선형이며, $(u)$-적으로 연속적인 $L_\infty$-모듈러 구조를 구성하는 것.
• 이전 접근 방식과 달리 드린펠트 연관자에 의존하지 않는 표준적 구성 방법을 제공하는 것.
• 부정적 순환 복합체 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 위의 $A_\infty$-모듈러 구조와 $(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 위의 기본적인 $\operatorname{Calc}_\infty$ 대수적 구조 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 형식적 변수 $u$ (차수 $-2$)와 $\epsilon$ (차수 $1$)를 포함하는 DGLA $({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$를 정의한다.
• 구조 사상 $\phi_n$에 대한 명시적 공식을 사용하여 이 DGLA 위에서 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$에 대한 $L_\infty$-모듈러 구조를 구성한다.
• Hochschild 코체인 DGA $C^\bullet(A)$의 부정적 순환 복합체 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(C^\bullet(A))$를 사용하며, 이는 $A_\infty$-대수적 구조를 지닌다.
• 보편 호모지적 대수 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$와 quasi-isomorphic한 비틀린 바르 복합체 $B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$를 도입한다.
• 사슬의 연속성에 기반하여 $B^{\operatorname{tw}}$에서 $\operatorname{End}_{K[[u]]}(\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A))$로의 quasi-isomorphism 사슬을 구축함으로써 $A_\infty$-사상과 그에 따른 $L_\infty$-사상의 존재를 보장한다.
• 최종적으로 유도된 $L_\infty$-사상을 사용하여 $\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$ 위의 총 차수 1의 사상으로 Gauss-Manin 접속을 정의한다: $\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 순환 호모로지에서 Gauss-Manin 접속을 코homology가 아닌 체인 수준에서 직접 구성할 수 있는가?
• RQ2 형식적 변수 $u$와 $\epsilon$를 포함하는 DGLA 위에서 부정적 순환 복합체에 대한 $L_\infty$-모듈러 구조에 대해 연관자에 의존하지 않는 표준적 구성이 가능한가?
• RQ3 부정적 순환 복합체 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 위의 $A_\infty$-모듈러 구조는 $(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 위의 기본적인 $\operatorname{Calc}_\infty$ 대수적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $L_\infty$-모듈러 구조가 DGLA의 보편 호모지적 대수와 quasi-isomorphic한 비틀린 바르 복합체를 통해 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 DGLA $({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$ 위에 $K[[u]]$-선형이면서 $(u)$-적으로 연속적인 표준적 $L_\infty$-모듈러 구조를 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$에 구성한다.
• 이에 따라 $\mathfrak{g}_A^\bullet$ 위에 유도된 $L_\infty$-모듈러 구조는 리 미분 $L_D$를 통한 표준적 작용을 복원한다.
• 보편 호모지적 대수 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$와 quasi-isomorphic한 비틀린 바르 복합체 $B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$를 도입하여 구성의 가능성을 보장한다.
• 사상 $\epsilon E_1 \wedge \cdots \wedge \epsilon E_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma} (\epsilon E_{\sigma_1}) E_{\sigma_2} \cdots E_{\sigma_n}$는 $B^{\operatorname{tw}}$에서 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$로의 quasi-isomorphism을 정의한다.
• Gauss-Manin 접속은 총 차수 1의 사상 $\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A)) \to \Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$로 표현되며, $\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$로 주어진다. 여기서 $\theta(X)(s) = L_X m_s \epsilon$이다.
• 이 구성은 이전의 접근 방식과 달리 드린펠트 연관자에 의존하지 않으며, 이전 연구보다 더 명시적이고 표준적인 프레임워크를 제공한다.