[논문 리뷰] On the graph isomorphism problem

Shmuel Friedland|ArXiv.org|2008. 01. 02.

Graph theory and applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이중 스 tochastic 행렬의 볼록 다면체 위에서 선형 방정식 및 부등식의 가역성에 기반하여 그래프 이somorphism 문제(GIP)와 부분그래프 이somorphism 문제(SGIP)를 결정 문제로 재구성한다. GIP와 SGIP는 다면체 $Ψ_{n,n}$의 정의 부등식 수가 다항식일 경우 다항식 시간 내에 결정 가능하다고 보여주지만, 이 수가 지수적으로 증가할 수 있음을 인정하여 GIP의 복잡도는 여전히 미결정이다.

ABSTRACT

We relate the graph isomorphism problem to the solvability of certain systems of linear equations with nonnegative variables. This version replaces the two previous versions of this paper.

연구 동기 및 목표

• 그래프 이somorphism 문제(GIP)를 선형 방정식 및 부등식의 가역성과 연관지키기.
• GIP와 부분그래프 이somorphism(SGIP)의 복잡도를 볼록 다면체 $Ψ_{n,n}$의 최소 지지 초평면 수를 통해 특성화하기.
• Ψ_{n,n} 내의 해 존재성이 GIP 및 SGIP에 대해 다항식 시간 결정 가능성을 제공하는지 조사하기.
• 이웃 행렬의 순열 유사/동치성과 크로네커 곱의 순열 행렬 위에서의 선형 시스템 간의 관계를 명확히 하기.
• 이전의 주장들을 수정하여 $Ψ_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$임을 입증함으로써, 이somorphism에 대해 필요한 조건이지만 충분하지 않은 조건을 설정하기.

제안 방법

• 그래프를 인접 행렬 $A$와 $B$로 표현하고, 순열 행렬 $P, Q \in \mathcal{P}_n$에 대해 $P(A+2I_n)Q^T = B+2I_n$로 이somorphism을 재정의하기.
• Kronecker 곱 $P \otimes Q$를 사용하여 문제를 고차원 공간으로 매핑하고, 볼록 hull $\Psi_{n,n} = \text{conv}(\mathcal{P}_n \otimes \mathcal{P}_n)$를 형성하기.
• 이소모르피즘 조건을 $Z \in \Psi_{n,n}$에 대해 $n^2$개의 선형 방정식 $Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}$의 시스템으로 표현하기. 여기서 $\widehat{M}$은 행렬 $M$의 벡터화 형태이다.
• 부분그래프 이somorphism의 경우, $Z \in \Psi_{n,n}$에 대해 $n^2$개의 선형 부등식 $Z\widehat{(C+2^{n^2}I_n)} \leq \widehat{(B+2^{n^2}I_n)}$로 일반화하기. 여기서 $C$는 고립 정점을 추가한 더 작은 그래프의 인접 행렬이다.
• 더 큰 다면체 $\Phi_{n,n}$을 $(4n-1)n^2$개의 선형 방정식과 $n^4$개의 음이 아닌 변수로 정의하고, $\Psi_{n,n}$를 포함하도록 하며, 타원체 방법을 사용하여 가용성 평가하기.
• 타원체 알고리즘을 사용하여 $\max(f(n), n)$에 대해 다항식 시간 내에 선형 시스템의 가용성을 결정하기. 여기서 $f(n)$은 $\Psi_{n,n}$을 정의하는 부등식의 수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 이somorphism 문제는 이중 스 tochastic 행렬의 볼록 다면체 위에서 선형 방정식 시스템의 가용성으로 환원될 수 있는가?
• RQ2 Ψ_{n,n}의 지지 초평면 수와 그래프 이somorphism 문제의 복잡도 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 Z \in Ψ_{n,n}에 대해 Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}의 가용성이 그래프 이somorphism에 대해 필수적이고 충분한 조건인가?
• RQ4 부분그래프 이somorphism 문제와 Ψ_{n,n} 위에서의 선형 부등식 시스템 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이전에 $\Phi_{n,n} = \Psi_{n,n}$라고 주장한 것이 올바른가, 아니면 $\Psi_{n,n}$이 $\Phi_{n,n}$의 진부분집합인가?

주요 결과

• 볼록 다면체 $\Psi_{n,n}$이 $f(n)$개의 선형 부등식 및 등식으로 정의될 경우, 그래프 이somorphism 문제는 $\max(f(n), n)$에 대해 다항식 시간 내에 결정 가능하다.
• 동일한 $f(n)$ 조건 하에, 부분그래프 이somorphism 문제도 $n^2$개의 선형 부등식 시스템을 사용하여 $\max(f(n), n)$에 대해 다항식 시간 내에 결정 가능하다.
• 논문은 이전의 주장을 수정하기 위해 $n \geq 4$일 때 $\Psi_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$임을 증명하였으며, J. Rosenberg의 반례를 사용하였다.
• 타원체 방법을 통해 $\Psi_{n,n}$ 위에서 선형 시스템의 가용성은 $f(n)$이 다항식일 경우 다항식 시간 내에 결정 가능하다.
• 만약 $f(n)$ 또는 $g(m,n)$(즉, $\Psi_{n,n}$ 또는 $\Psi_{m,n}$의 제약 조건 수)가 다항식일 경우, 행렬의 순열 유사성 및 동치성은 다항식 시간 내에 결정 가능하다.
• 다음과 같은 경우, $\Phi_{n,n}$을 $\Psi_{n,n}$ 대신 사용할 경우 이소모르피즘에 대해 필요한 조건만 제공할 뿐이며, 따라서 $f(n)$이 다항식일 경우가 아니면 GIP의 복잡도는 해결되지 않는다.