[论文解读] On the Hall algebra of coherent sheaves on P^1 over F_1

Matt Szczesny|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文构建了在 $\mathbb{F}_1$ 上的射影直线上的凝聚层的 Hall 代数，定义了在单幺环概形 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上的正常凝聚层的范畴，该范畴表现得像一个有限型阿贝尔范畴，但缺乏加法性。主要结果表明，Hall 代数同构于李代数 $L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa$ 的普遍包络代数，其中 $L\mathfrak{gl}^+_2$ 是环代数 $L\mathfrak{gl}_2$ 的一种非标准 Borel 子代数，$\kappa$ 是由无限多个生成元构成的交换李代数，从而提供了 Kapranov 的量子环代数结果在 $q=1$ 时的类比。

ABSTRACT

We define and study the category $Coh_n(\Pone)$ of normal coherent sheaves on the monoid scheme $\Pone$ (equivalently, the $\mathfrak{M}_0$-scheme $\Pone / \fun$ in the sense of Connes-Consani-Marcolli \cite{CCM}). This category resembles in most ways a finitary abelian category, but is not additive. As an application, we define and study the Hall algebra of $Coh_n(\Pone)$. We show that it is isomorphic as a Hopf algebra to the enveloping algebra of the product of a non-standard Borel in the loop algebra $L {\mathfrak{gl}}_2$ and an abelian Lie algebra on infinitely many generators. This should be viewed as a $(q=1)$ version of Kapranov's result relating (a certain subalgebra of) the Ringel-Hall algebra of $\mathbb{P}^1$ over $\mathbb{F}_q$ to a non-standard quantum Borel inside the quantum loop algebra $\mathbb{U}_ν (\slthat)$, where $ν^2=q$.

研究动机与目标

• 定义并研究在 $\mathbb{F}_1$-几何框架下、在单幺环概形 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上的正常凝聚层范畴 $Coh_n(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$，该范畴推广了 $\mathbb{F}_1$-几何中的凝聚层。
• 尽管该范畴不具有加法性，仍通过将 Hall 代数技术适配到带基点集合，构建该范畴的 Hall 代数 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$。
• 作为霍普夫代数，建立 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 的结构描述，识别其本原元素和代数生成元。
• 提供 Kapranov 的结果在 $q=1$ 时的类比，即 $\mathbb{F}_q$ 上 $\mathbb{P}^1$ 的 Ringel-Hall 代数与 $\mathbb{U}_\nu(L\mathfrak{sl}_2)$ 的量子 Borel 子代数之间的关系。

提出的方法

• 将 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上的凝聚层定义为满足正规性条件和局部有限生成性的带基点集合的层，推广了 Deitmar 以及 Connes-Consani-Marcolli 的框架。
• 将 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上的不可约凝聚层分类为线丛 $\mathcal{O}(n)$、循环层 $\mathcal{C}_n$ 以及扭层 $\mathcal{T}_{0,k}, \mathcal{T}_{\infty,l}$，并证明它们是所有凝聚层的构造块。
• 将 Hall 代数 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 构造为一个在 $\mathbb{Q}$ 上的分次、连通、余交换的霍普夫代数，其基元素 $\delta_{\mathcal{F}}$ 索引于凝聚层的同构类。
• 利用 Milnor-Moore 定理，识别 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 中本原元素的李代数，其由 $\delta_{\mathcal{F}}$ 张成，其中 $\mathcal{F}$ 为不可约层，并计算其换位关系。
• 通过将生成元映射到 $\delta_{\mathcal{O}(k)}, \delta_{\mathcal{T}_{0,n}}, \delta_{\mathcal{T}_{\infty,n}}, \delta_{\mathcal{C}_n}$，定义一个李代数同态 $\rho: L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa \to \mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$，并证明其为同构。
• 证明由 $\overline{\mathcal{O}(k)}$ 和 $\overline{\mathcal{T}_{0,n}} + \overline{\mathcal{T}_{\infty,n}}$ 生成的子代数同构于 $\mathbb{U}(L\mathfrak{sl}^+_2)$，与 Kapranov 的量子结果相呼应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $\mathbb{F}_1$-几何的框架下，特别是使用单幺环概形，推广 $\mathbb{P}^1$ 上凝聚层范畴？
• RQ2 给定该范畴不具有加法性，$\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上正常凝聚层范畴的 Hall 代数结构是什么？
• RQ3 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 的 Hall 代数如何与量子环代数相关联？它能否被视为 Kapranov 构造在 $q=1$ 时的极限？
• RQ4 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上的不可约凝聚层是什么？它们如何生成 Hall 代数？
• RQ5 能否将 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 的 Hall 代数描述为某个李代数的普遍包络代数？如果是，是哪一个？

主要发现

• Hall 代数 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 作为霍普夫代数同构于普遍包络代数 $\mathbb{U}(L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa)$，其中 $L\mathfrak{gl}^+_2$ 是环代数 $L\mathfrak{gl}_2$ 的一种非标准 Borel 子代数。
• $L\mathfrak{gl}^+_2$ 由 $e \otimes t^k$、$h_1 \otimes t^n$ 和 $h_2 \otimes t^m$ 张成，其中 $e = \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$，$h_1 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$，$h_2 = \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$。
• 交换李代数 $\kappa$ 有生成元 $\kappa_n$（$n \in \mathbb{N}$），对应于循环层 $\mathcal{C}_n$。
• $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 中的换位关系与 $L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa$ 一致，其中 $[\overline{\mathcal{T}_{x,n}}, \overline{\mathcal{O}(m)}] = \overline{\mathcal{O}(n+m)}$ 且 $[\overline{\mathcal{C}_n}, \overline{\mathcal{F}}] = 0$ 对所有不可约 $\mathcal{F}$ 成立。
• 由 $\overline{\mathcal{O}(k)}$ 和 $\overline{\mathcal{T}_{0,n}} + \overline{\mathcal{T}_{\infty,n}}$ 生成的子代数同构于 $\mathbb{U}(L\mathfrak{sl}^+_2)$，其中 $L\mathfrak{sl}^+_2 = (\mathfrak{h} \otimes t\mathbb{C}[t]) \oplus (e \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}])$，且 $\mathfrak{h} = \mathbb{C} \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}$。
• Hall 代数关于 $\mathbb{P}^1$ 的 K-群 $K_0(\mathbb{P}^1)$ 分次，且 Milnor-Moore 定理保证其同构于其本原元素李代数的普遍包络代数。